Loading [MathJax]/jax/output/SVG/jax.js

Олимпиада Туймаада по математике. Старшая лига. 2012 год


Положительные числа a, b, c таковы, что abc=1. Докажите, что 12a2+b2+3+12b2+c2+3+12c2+a2+312. ( В. Аксенов )
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

  1
4 года 8 месяца назад #

Решение №1: В силу неравенства Коши имеем оценку:

12a2+b2+3=1a2+b2+a2+1+212ab+2a+2

С остальными дробями делаем тоже самое, затем сложив эти неравенства, получим требуемое

12a2+b2+3+12b2+c2+3+12c2+a2+312(1ab+a+1+1bc+c+1+1ca+c+1)=

=12(abcab+a+abc+1bc+c+1+bbca+bc+b)=12(bcb+1+bc+1bc+c+1+b1+bc+b)=12.