Олимпиада Туймаада по математике. Старшая лига. 2012 год
Положительные числа a, b, c таковы, что abc=1. Докажите, что
12a2+b2+3+12b2+c2+3+12c2+a2+3≤12.
(
В. Аксенов
)
посмотреть в олимпиаде
Комментарий/решение:
Решение №1: В силу неравенства Коши имеем оценку:
12a2+b2+3=1a2+b2+a2+1+2≤12ab+2a+2
С остальными дробями делаем тоже самое, затем сложив эти неравенства, получим требуемое
12a2+b2+3+12b2+c2+3+12c2+a2+3≤12⋅(1ab+a+1+1bc+c+1+1ca+c+1)=
=12⋅(abcab+a+abc+1bc+c+1+bbca+bc+b)=12⋅(bcb+1+bc+1bc+c+1+b1+bc+b)=12.
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.