Республиканская олимпиада по математике, 2002 год, 9 класс

Задача №1. Дан квадрат

$ABCD$ со стороной 1. На сторонах

$BC$ и

$CD$ выбраны соответственно точки

$M$ и

$N$ так, что периметр треугольника

$MCN$ равен 2. Найдите расстояние от

$A$ до

$MN$ .
комментарий/решение(1)

Задача №2. В окружность вписаны правильные 2001-угольник и 2002-угольник. Докажите, что найдутся две вершины этих многоугольников, образующие дугу величиной не более

$\dfrac{\pi}{4006002}$ .
комментарий/решение(1)

Задача №3. Пусть

$p$ ,

$q$ — натуральные числа такие, что

$1\leq q\leq p$ и

$a = {\left( {p + \sqrt {{p^2} + q} } \right)^2}$ . Докажите, что

$a$ — иррациональное число и

$\{a\} > 0,\!75.$ Здесь

$\{x\}$ — дробная часть числа

$x,$ например

$\{3,\!43\}=0,\!43$ .
комментарий/решение(4)

Задача №4. Пусть

$n\geq 2$ — целое и

$E={x_1}^2+{x_2}^2+\ldots+{x_n}^2-x_1x_2-x_2x_3- \ldots-x_{n-1}x_n-x_nx_1.$ Найдите максимальное значение

$E$ при

$x_1$ ,

$x_2, \dots, x_{n} \in [0,1]$ и определите когда достигается этот максимум.
комментарий/решение(5)

Задача №5. Два игрока играют с двумя кучами камней: в первой 2001, а во второй 2002 камня. За ход игроку разрешается взять с обеих куч по одному камню либо только с одной кучи один камень. Выигрывает тот, кто возьмет последний камень. Какой игрок выиграет при правильной стратегии?
комментарий/решение(3)

Задача №6. В треугольнике

$ABC$

$\angle B > 90^{\circ}$ и на стороне

$AC$ для некоторой точки

$H$

$AH=BH$ причем прямая

$BH$ перпендикулярна

$BC$ . Обозначим через

$D$ и

$E$ середины сторон

$AB$ и

$BC$ соответственно. Прямая, проведенная через

$H$ и параллельная

$AB$ пересекает

$DE$ в точке

$F$ . Докажите, что

$\angle BCF=\angle ACD.$
комментарий/решение(1)

Задача №7. Дана клетчатая доска

$n\times n$ , раскрашенная в шахматном порядке. На доске разрешается проводить следующую операцию: выбрать прямоугольник оба размера которого имеют одинаковую четность, но не равны одновременно 1, и поменять цвета всех клеток в этом прямоугольнике на противоположные. Найдите все значения

$n$ при которых за конечное число операций доску можно сделать одноцветной.
комментарий/решение(8)

Задача №8. Пусть

$a$ ,

$b$ ,

$c$ ,

$a+b-c$ ,

$a+c-b$ ,

$b+c-a$ ,

$a+b+c$ — различные простые числа такие, что сумма двух чисел из {

$a, b, c$ } равна 800. Обозначим через

$d$ разность между наибольшим и наименьшим этих семи чисел. Найдите максимально возможное значение

$d$ .
комментарий/решение(1)