Республиканская олимпиада по математике, 2002 год, 9 класс
В треугольнике ABC ∠B>90∘ и на стороне AC для некоторой точки H AH=BH причем прямая BH перпендикулярна BC. Обозначим через D и E середины сторон AB и BC соответственно. Прямая, проведенная через H и параллельная AB пересекает DE в точке F. Докажите, что ∠BCF=∠ACD.
посмотреть в олимпиаде
Комментарий/решение:
так как AH=BH , HF||AB и DE средняя линия ΔABC , то значит ∠ABH=∠BAH=∠BHF=∠FHC , то есть ADFH - параллелограмм , откуда ∠DFH=∠DAH.
∠HBC=90∘ , значит ∠FBC=90∘−(90∘−∠DAC)=∠DAC. Докажем что ΔBFC;ΔACD подобны ,для этого надо показать что BFAD=BCAC.
Получим что надо показать действительность выполнения тождества tg∠DAC=tg2∠DACcos2∠DAC+1cos2∠DAC которое верно , откуда ∠BCF=∠ACD
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.