Loading [MathJax]/jax/output/SVG/jax.js

Республиканская олимпиада по математике, 2002 год, 9 класс


В треугольнике ABC B>90 и на стороне AC для некоторой точки H AH=BH причем прямая BH перпендикулярна BC. Обозначим через D и E середины сторон AB и BC соответственно. Прямая, проведенная через H и параллельная AB пересекает DE в точке F. Докажите, что BCF=ACD.
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

  2
8 года 11 месяца назад #

так как AH=BH , HF||AB и DE средняя линия ΔABC , то значит ABH=BAH=BHF=FHC , то есть ADFH - параллелограмм , откуда DFH=DAH.

HBC=90 , значит FBC=90(90DAC)=DAC. Докажем что ΔBFC;ΔACD подобны ,для этого надо показать что BFAD=BCAC.

Получим что надо показать действительность выполнения тождества tgDAC=tg2DACcos2DAC+1cos2DAC которое верно , откуда BCF=ACD