Loading [MathJax]/jax/output/SVG/jax.js

Республиканская олимпиада по математике, 2002 год, 9 класс


Пусть p, q — натуральные числа такие, что 1qp и a=(p+p2+q)2. Докажите, что a — иррациональное число и {a}>0,75. Здесь {x} — дробная часть числа x, например {3,43}=0,43.
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

пред. Правка 2   3
3 года 10 месяца назад #

Заметим что {(p+p2+q)2}={p2+2pp2+q+p2+q}={2pp2+q}

Теперь докажем это:

2p2+q>2pp2+q>2p2+q0,25, если всё возведём в квадрат:

4p4+4p2q+q2>4p4+4p2q>4p4+q2+0,0625+4p2qp20,5q

Левое неравенство очевидно. Докажем правое, оно эквивалентна:

0>q2+0,0625p20,5q, это неравенство сумма этих двух: q2p2

0,5q0,5>0,0625.

пред. Правка 2   3
3 года назад #

В 4-ой строчке в конце забыта q (должно было быть 0,5q), случайно заметил :)

P.S. иррациональность можно доказать тем, что 2pp2+q - иррациональное число. Действительно, достаточно показать, что p2+qb2,bZ.

Это верно, ведь p2<p2+q<p2+2p+1=(p+1)2

  1
3 года 10 месяца назад #

Спасибо что заметили, исправил)

  0
3 года 10 месяца назад #

да pokpokben очень зоркий :))