Республиканская олимпиада по математике, 2002 год, 9 класс
Пусть p, q — натуральные числа такие, что
1≤q≤p и a=(p+√p2+q)2.
Докажите, что a — иррациональное число и {a}>0,75.
Здесь {x} — дробная часть числа x, например {3,43}=0,43.
посмотреть в олимпиаде
Комментарий/решение:
Заметим что {(p+√p2+q)2}={p2+2p√p2+q+p2+q}={2p√p2+q}
Теперь докажем это:
2p2+q>2p√p2+q>2p2+q−0,25, если всё возведём в квадрат:
4p4+4p2q+q2>4p4+4p2q>4p4+q2+0,0625+4p2q−p2−0,5q
Левое неравенство очевидно. Докажем правое, оно эквивалентна:
0>q2+0,0625−p2−0,5q, это неравенство сумма этих двух: q2≤p2
0,5q≥0,5>0,0625.
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.