қазақша
русскийМатематикадан республикалық олимпиада, 2001-2002 оқу жылы, 9 сынып
Есеп №1. Қабырғасы 1-ге тең $ABCD$ квадраты берілген. $BC$ және $CD$ қабырғаларында, $MCN$ үшбұрышының периметірі 2-ге тең болатындай етіп сәкесінше $M$ және $N$ нүктелері таңдап алынған. $A$ нүктесінен $MN$ түзуіне дейінгі қашықтықты табыңдар.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Есеп №2. Шеңберге дұрыс 2001-бұрыш және дұрыс 2002-бұрыш іштей сызылған. $\dfrac{\pi }{4006002}$ шамадан үлкен емес доғаны құрайтын осы көпбұрыштардың екі төбесі табылатынын дәлелдеңіздер.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Есеп №3. $p,q$ натурал сандары берілген, мұңдағы $1 < q\le p$. Егер $a={{\left( p+\sqrt{{{p}^{2}}+q} \right)}^{2}}$ болса, онда $a$ саны иррационал және $\left\{ a \right\} > 0,75$ екенін дәлелдеңдер. $\left\{ x \right\}$ — $x$ санының бөлшек бөлігі, мысалы $\left\{ 3,\!43 \right\}=0,\!43$.
комментарий/решение(4)
комментарий/решение(4)
Есеп №4. $n\ge 2$ болатын бүтін сан. $E={{x}_{1}}^{2}+{{x}_{2}}^{2}+\ldots +{{x}_{n}}^{2}-{{x}_{1}}{{x}_{2}}-{{x}_{2}}{{x}_{3}}-\ldots -{{x}_{n-1}}{{x}_{n}}-{{x}_{n}}{{x}_{1}}$ болсын. Егер ${{x}_{2}},\ldots ,{{x}_{n}}\in [0,1]$ болса, онда $E$-нің ең үлкен мәнін және қандай жағдайда осы мәнге тең болатынын анықтаңдар.
комментарий/решение(5)
комментарий/решение(5)
Есеп №5. Біреуінде 2001 ал екіншісінде 2002 тасы бар екі тастардың үйіндісі бар. Екі ойыншыға екі үйіндіден де бір бір тастан немесе бір ғана үйіндіден бір тас алуға рұқсат етіледі. Ең соңғы тасты алған ойыншы жеңді деп есептеледі. Дұрыс ойнаған жағдайда қай ойыншының жеңуге мүмкіндігі бар.
комментарий/решение(3)
комментарий/решение(3)
Есеп №6. $ABC$ үшбұрышында $\angle B > 90{}^\circ $ және $AC$ қабырғасындағы қандай да бір $H$ нүктесі үшін $AH=HB$ және де $BH$ түзуі $BC$-ға перпендикуляр. $AB$ және $BC$ қабырғаларының орталарын сәйкесінше $D$ және $E$ деп белгілейік. $H$ арқылы өтетін және $AB$-ға параллель түзу $DE$-ні $F$ нүктесінде қияды. $\angle BCF=\angle ACD$ екенін дәлелдеңіздер.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Есеп №7. Шахмат тәртібімен боялған $n\times n$ шаршылы квадрат тақтасы берілген. Тақтада, өлшемдерінің жұптылығы бірдей, бірақ екі өлшемі де 1-ге тең болмайтындай тік төртбұрышты таңдап алып осы тік төртбұрыштағы барлық шаршыларды қарама-қарсы түске бояуға рұқсат етіледі. Осындай оперцияларды қолдану арқылы тақтаны бір түске бояуға болатындай $n$-ның барлық мәндерін табыңдар.
комментарий/решение(8)
комментарий/решение(8)
Есеп №8. $a$, $b$, $c$, $a+b-c$, $a+c-b$, $b+c-a$, $a+b+c$— әр түрлі жай саңдар болсын, мұнда $\left\{ a,b,c \right\}$ сандардың екеуінің қосындысы 800-ге тең. $d$ арқылы осы жеті санның ең үлкен және ең кішісінің айырмасын белгілейік. $d$-ның ең үлкен мүмкін болатын мәнін табыңдар.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)