Республиканская олимпиада по математике, 2002 год, 9 класс

Дан квадрат $ABCD$ со стороной 1. На сторонах $BC$ и $CD$ выбраны соответственно точки $M$ и $N$ так, что периметр треугольника $MCN$ равен 2. Найдите расстояние от $A$ до $MN$.

Комментарий/решение

Пусть $BM=x$, $DN=y$, $MN=z$, тогда $CM=1-x$, $CN=1-y$. Так как $P_{\triangle MCN}=2$, то $1-x+1-y+z=2$, откуда $z=x+y$. На стороне $MN$ возьмем точку $H$ так, что $MH=HN$. Тогда $H$ - точка касания двух окружностей с центрами в $M$, $N$ и радиусами $x$, $y$ соответственно,а прямая $AH$ - касательная к этим окружностям. Из равенства треугольников $\triangle ABM$ и $\triangle AHM$, получаем $AH=1$. Значит, расстояние от $A$ до $MN$ равно $1$.