Республиканская олимпиада по математике, 2002 год, 9 класс

Дан квадрат $ABCD$ со стороной 1. На сторонах $BC$ и $CD$ выбраны соответственно точки $M$ и $N$ так, что периметр треугольника $MCN$ равен 2. Найдите расстояние от $A$ до $MN$.

Комментарий/решение

Пусть $BM=x$, $DN=y$, $MN=z$, тогда $CM=1-x$, $CN=1-y$. Так как $P_{\triangle MCN}=2$, то $1-x+1-y+z=2$, откуда $z=x+y$. На стороне $MN$ возьмем точку $H$ так, что $MH=HN$. Тогда $H$ - точка касания двух окружностей с центрами в $M$, $N$ и радиусами $x$, $y$ соответственно,а прямая $AH$ - касательная к этим окружностям. Из равенства треугольников $\triangle ABM$ и $\triangle AHM$, получаем $AH=1$. Значит, расстояние от $A$ до $MN$ равно $1$.

На $MN$ возьмём точку $H$ такую, что $MH = BM$, $HN = ND$. Пусть $\angle MBH = \angle MHB = \beta$, $\angle NHD = \angle NDH = \alpha$, тогда $\angle CMN + \angle CNM = 2\alpha + 2\beta = 90^\circ$, $\beta = 45^\circ - \alpha$. $\angle BDH = \angle BDC - \angle HDC = 45^\circ - \alpha = \beta = \angle MBH = \angle MHB$, т.е. описанная окружность около $\triangle BHD$ касается $BC$ в $B$ и $MN$ в $H$. Заметим, что $A$ лежит на перпендикуляре к прямой $BC$ в точке $B$ и $AB = AD$, откуда $A$ - центр окружности $(BHD)$, значит $AH \perp MN$, $AH = AB = 1$.