Математикадан республикалық олимпиада, 2001-2002 оқу жылы, 9 сынып

Қабырғасы 1-ге тең $ABCD$ квадраты берілген. $BC$ және $CD$ қабырғаларында, $MCN$ үшбұрышының периметірі 2-ге тең болатындай етіп сәкесінше $M$ және $N$ нүктелері таңдап алынған. $A$ нүктесінен $MN$ түзуіне дейінгі қашықтықты табыңдар.

Комментарий/решение

Пусть $BM=x$, $DN=y$, $MN=z$, тогда $CM=1-x$, $CN=1-y$. Так как $P_{\triangle MCN}=2$, то $1-x+1-y+z=2$, откуда $z=x+y$. На стороне $MN$ возьмем точку $H$ так, что $MH=HN$. Тогда $H$ - точка касания двух окружностей с центрами в $M$, $N$ и радиусами $x$, $y$ соответственно,а прямая $AH$ - касательная к этим окружностям. Из равенства треугольников $\triangle ABM$ и $\triangle AHM$, получаем $AH=1$. Значит, расстояние от $A$ до $MN$ равно $1$.