Loading [MathJax]/jax/output/SVG/jax.js

Математикадан республикалық олимпиада, 2001-2002 оқу жылы, 9 сынып


a, b, c, a+bc, a+cb, b+ca, a+b+c— әр түрлі жай саңдар болсын, мұнда {a,b,c} сандардың екеуінің қосындысы 800-ге тең. d арқылы осы жеті санның ең үлкен және ең кішісінің айырмасын белгілейік. d-ның ең үлкен мүмкін болатын мәнін табыңдар.
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

пред. Правка 2   3 | Модератормен тексерілді
8 года 11 месяца назад #

Не теряя общности, предположим, что a>b>c. Тогда понятно, что число a+b+c наибольшее, а число b+ca наименьшее среди этих семи чисел. Значит d=a+b+cbc+a=2a. Заметим, что независимо от того какая из попарных сумм тройки чисел {a,b,c} равна 800, число a всегда будет меньше 800, а наибольшее простое число меньшее 800 - это 797, следовательно максимальное значение d=2797=1594.