Республиканская олимпиада по математике, 2002 год, 9 класс

Пусть $a$, $b$, $c$, $a+b-c$, $a+c-b$, $b+c-a$, $a+b+c$ — различные простые числа такие, что сумма двух чисел из {$a, b, c$} равна 800. Обозначим через $d$ разность между наибольшим и наименьшим этих семи чисел. Найдите максимально возможное значение $d$.

Комментарий/решение

Не теряя общности, предположим, что $a > b > c$. Тогда понятно, что число $a + b + c$ наибольшее, а число $b + c - a$ наименьшее среди этих семи чисел. Значит $d = a + b + c - b - c + a = 2a$. Заметим, что независимо от того какая из попарных сумм тройки чисел $\left\{a, b, c \right\}$ равна 800, число $a$ всегда будет меньше 800, а наибольшее простое число меньшее 800 - это 797, следовательно максимальное значение $d = 2 \cdot 797 = 1594$.