Республиканская олимпиада по математике, 2002 год, 9 класс

В окружность вписаны правильные 2001-угольник и 2002-угольник. Докажите, что найдутся две вершины этих многоугольников, образующие дугу величиной не более $\dfrac{\pi}{4006002}$.

Комментарий/решение

Берём 2 точки многоугольников(Х1, У1), дуга между которыми является наименьшей, среди всех возможных дуг, образованных между точками многоугольников. Путь эта дуга S, и $S>\frac{p}{2001*2002}$. Тогда возьмём 2 след точки: (Х2, У2), чтобы дуга У1Х2, была меньше чем дуга У2Х1. Дуга между У1 и У2, равна $\frac{p}{2002}$. Дуга между X1 и X2, равна $\frac{p}{2001}$. Значит дуга между Х2 и У2, равна $S-\frac{p}{2001*2002}$. Но тогда эта дуга меньше чем предыдущая. Плохо. Значит мы не могли выбрать наименьшую дугу, большую чем $S>\frac{p}{2001*2002}$

P.s. если на дуге, следующие Х2, У2 идут в такой последовательности:

Х1, У1, У2, Х2, то дуга S, уже меньше чем $\frac{p}{2001*2002}$, потому что X1Y1+X2Y2 равно $\frac{p}{2001*2002}$.