Математикадан республикалық олимпиада, 2001-2002 оқу жылы, 9 сынып
Шеңберге дұрыс 2001-бұрыш және дұрыс 2002-бұрыш іштей сызылған. π4006002 шамадан үлкен емес доғаны құрайтын осы көпбұрыштардың екі төбесі табылатынын дәлелдеңіздер.
посмотреть в олимпиаде
Комментарий/решение:
Берём 2 точки многоугольников (X1,Y1), дуга между которыми является наименьшей, среди всех возможных дуг, образованных между точками многоугольников.(Xi - 2001-угольник, Yi - 2002-угольник). Пусть эта дуга S. Тогда возьмём 2 след точки: (X2,Y2). Пусть образовалась последовательность в след порядке: X1,Y1,X2,Y2. Дуга между Y1 и Y2, равна 2π2002. Дуга между X1 и X2, равна 2π2001. Значит дуга между X2 и Y2, равна S−2π2001+2π2002=S−2π2001∗2002. Но тогда эта дуга меньше чем предыдущая. Плохо.
Если на дуге, X2, Y2 идут в такой последовательности:
X1,Y1,Y2,X2 то дуга S, уже меньше чем π2001∗2002, потому что ⌢X1X2−⌢Y1Y2=2π2001∗2002
Тогда мы точно понимаем что либо ⌢X1Y1, либо ⌢Y2X2 ≤2π2001∗2002∗2=π2001∗2002
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.