Республиканская олимпиада по математике, 2002 год, 9 класс

В окружность вписаны правильные 2001-угольник и 2002-угольник. Докажите, что найдутся две вершины этих многоугольников, образующие дугу величиной не более $\dfrac{\pi}{4006002}$.

Комментарий/решение

Берём $2$ точки многоугольников $(X_1, Y_1)$, дуга между которыми является наименьшей, среди всех возможных дуг, образованных между точками многоугольников.($X_i$ - $2001$-угольник, $Y_i$ - $2002$-угольник). Пусть эта дуга $S$. Тогда возьмём 2 след точки: $(X_2, Y_2)$. Пусть образовалась последовательность в след порядке: $X_1, Y_1, X_2, Y_2$. Дуга между $Y_1$ и $Y_2$, равна $\frac{2\pi}{2002}$. Дуга между $X_1$ и $X_2$, равна $\frac{2\pi}{2001}$. Значит дуга между $X_2$ и $Y_2$, равна $S-\frac{2\pi}{2001}+\frac{2\pi}{2002}=S-\frac{2\pi}{2001*2002}$. Но тогда эта дуга меньше чем предыдущая. Плохо.

Если на дуге, $X_2$, $Y_2$ идут в такой последовательности:

$X_1, Y_1, Y_2, X_2$ то дуга $S$, уже меньше чем $\frac{\pi}{2001*2002}$, потому что $\overset\frown{X_1X_2}-\overset\frown{Y_1Y_2}=\frac{2\pi}{2001*2002}$

Тогда мы точно понимаем что либо $\overset\frown{X_1Y_1}$, либо $\overset\frown{Y_2X_2}$ $\leq \frac{2\pi}{2001*2002*2}=\frac{\pi}{2001*2002}$