Республиканская олимпиада по математике, 2002 год, 9 класс
Пусть n≥2 — целое и
E=x12+x22+…+xn2−x1x2−x2x3−…−xn−1xn−xnx1.
Найдите максимальное значение E при x1, x2,…,xn∈[0,1] и определите когда достигается этот максимум.
посмотреть в олимпиаде
Комментарий/решение:
x2n+1=sin2x∈[0,1]
x2n=cos2x∈[0,1]
Если n=2k
E=(sin2x+cos2x+....+cos2x)−nsin2xcos2x=n2−n4sin22x=n2
Если n=2k+1
E=(sin2x+cos2x+....+cos2x)+sin2x−n+14sin22x=n2+1
max[E]=max[n2;n2+1]=n2+1(n=2k+1)
max[E]=n2(n=2k)
При n чётном максимум E=n/2(как показал sea). Теперь рассмотрим n=2k+1. Так как выражение E цикличное относительно (x_{1},...,x_{n}), то можно считать что max(x_{i})=x_{2k+1}. То E=\dfrac{(x_{1}-x_{2})^2+...+(x_{2k}-x_{2k+1})^2 +(x_{2k+1}-x_{1})^2}{2} =\dfrac{(x_{1}-x_{2})^2+...+(x_{2k}-x_{1})^2+2(x_{2k}-x_{2k+1})(x_{2k+1}-x_{1})}{2}
\leq \dfrac{2k+0}{2}=k
Последние неравенство очевидное так как 2(x_{2k}-x_{2k+1})(x_{2k+1}-x_{1}) \leq 0. Значит при n=2k+1 максимум E=\dfrac{n-1}{2}, пример: x_{2i}=0,x_{2i-1}=1, при i=1,2,...,k.
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.