Processing math: 46%

Республиканская олимпиада по математике, 2002 год, 9 класс


Пусть n2 — целое и E=x12+x22++xn2x1x2x2x3xn1xnxnx1. Найдите максимальное значение E при x1, x2,,xn[0,1] и определите когда достигается этот максимум.
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

  0
8 года 11 месяца назад #

x2n+1=sin2x[0,1]

x2n=cos2x[0,1]

Если n=2k

E=(sin2x+cos2x+....+cos2x)nsin2xcos2x=n2n4sin22x=n2

Если n=2k+1

E=(sin2x+cos2x+....+cos2x)+sin2xn+14sin22x=n2+1

max[E]=max[n2;n2+1]=n2+1(n=2k+1)

max[E]=n2(n=2k)

пред. Правка 2   0
8 года 11 месяца назад #

Не всегда найдутся такие x, что x2n+1=cos2x,x2n=sin2x. Можете предложить другое решение. Неправильные решения позже будут удалятся модераторам.

  1
8 года 11 месяца назад #

E=x12+x22++xn2x1x2x2x3xn1xnxnx1.

2E=2x12+2x22++2xn22x1x22x2x32xn1xn2xnx1.

2E=(x1x2)2+(x2x3)2++(xn1xn)2+(xnx1)2

E=(x1x2)2+(x2x3)2++(xn1xn)2+(xnx1)22

xixj

E \leqslant \cfrac{n}{2}

пред. Правка 2   0
3 года 10 месяца назад #

Для n \in нечет E не может быть равен \dfrac{n}{2}, всегда будет меньше. Пример для n \in чет: x_1=1, x_2=0, x_3=1,... x_n=0

пред. Правка 3   1
3 года 9 месяца назад #

При n чётном максимум E=n/2(как показал sea). Теперь рассмотрим n=2k+1. Так как выражение E цикличное относительно (x_{1},...,x_{n}), то можно считать что max(x_{i})=x_{2k+1}. То E=\dfrac{(x_{1}-x_{2})^2+...+(x_{2k}-x_{2k+1})^2 +(x_{2k+1}-x_{1})^2}{2} =\dfrac{(x_{1}-x_{2})^2+...+(x_{2k}-x_{1})^2+2(x_{2k}-x_{2k+1})(x_{2k+1}-x_{1})}{2}

\leq \dfrac{2k+0}{2}=k

Последние неравенство очевидное так как 2(x_{2k}-x_{2k+1})(x_{2k+1}-x_{1}) \leq 0. Значит при n=2k+1 максимум E=\dfrac{n-1}{2}, пример: x_{2i}=0,x_{2i-1}=1, при i=1,2,...,k.