Республиканская олимпиада по математике, 1999 год, 11 класс

Задача №1. Докажите, что для любых действительных чисел

$a_1, a_2, \dots, a_{100}$ существует такое действительное число

$b$ такое, что все числа

$a_i+b$ (

$1\leq i\leq 100$ ) — иррациональные.
комментарий/решение

Задача №2. Докажите, что для любого нечетного

$n$ существует единственный многочлен

$P(x)$

$n$ -ой степени, удовлетворяющее уравнению

$P\left(x-\frac{1}{x}\right)=x^n-\frac{1}{x^n}.$ Верно ли это утверждение для любого натурального

$n$ ?
комментарий/решение

Задача №3. Окружность вписанная в треугольник

$ABC$ касается сторон

$AB$ и

$BC$ в точках

$C_1$ и

$A_1$ соответственно. Прямые

$CO$ и

$AO$ пересекает прямую

$C_1A_1$ в точках

$K$ и

$L$ .

$M$ — середина

$AC$ и

$\angle ABC=60^\circ$ . Доказать, что

$KLM$ — правильный треугольник.
комментарий/решение(1)

Задача №4. В одном доме живут семь гномов и у каждого есть своя шляпа. В один день утром два гнома по неосторожности поменялись шляпами. В любое время любые три гнома могут сесть за круглый стол и обменяться шляпами по часовой стрелке. Возможно ли, что к вечеру все гномы будут при своих шляпах.
комментарий/решение

Задача №5. Для действительных чисел

$x_1, x_2, \dots, x_n$ и

$y_1, y_2, \dots, y_n$ выполнены неравенства

$x_1\geq x_2\geq \ldots\geq x_n >0$ и

$y_1\geq x_1, ~y_1y_2 \geq x_1x_2, ~\dots, ~y_1y_2 \dots y_n \geq x_1x_2 \dots x_n.$ Докажите, что

$ny_1+(n-1)y_2+ \dots +y_n\geq x_1+2x_2+ \dots +nx_n$ .
комментарий/решение(1)

Задача №6. В последовательности натуральных чисел

$a_1$ ,

$a_2$ ,

$\dots$ ,

$a_{1999}$ ,

$a_n-a_{n-1}-a_{n-2}$ делится на 100

$(3\leq n \leq 1999)$ . Известно, что

$a_1=19$ и

$a_2=99$ . Найдите остаток от деления числа

$a_1^2+a_2^2+ \dots +a_{1999}^2$ на 8.
комментарий/решение(2)

Задача №7. На сфере с радиусом 1 дана точка

$P$ . Три взаимно перпендикулярные луча, выходящие из точки

$P$ , пересекают сферу в точках

$A$ ,

$B$ и

$C$ . Докажите, что все такие возможные плоскости

$ABC$ проходят через фиксированную точку, и найдите максимальную возможную площадь треугольника

$ABC$ .
комментарий/решение

Задача №8. Пусть

${{a}_{1}},{{a}_{2}},\ldots,{{a}_{n}}$ является перестановкой чисел

$1,2,\ldots ,n$ , где

$n\geq 2$ . Найдите максимальное значение суммы

$S(n)=|{{a}_{1}}-{{a}_{2}}|+|{{a}_{2}}-{{a}_{3}}|+\cdots +|{{a}_{n-1}}-{{a}_{n}}|.$
комментарий/решение(3)