Математикадан республикалық олимпиада, 1998-1999 оқу жылы, 11 сынып

Есеп №1. Кез келген нақты

${{a}_{1}},{{a}_{2}},\ldots ,{{a}_{100}}$ сандары үшін

${{a}_{i}}+b$ ,

$1\le i\le 100$ , сандарының барлығы иррационал балатындай нақты

$b$ санының табылатынын дәлелде.
комментарий/решение

Есеп №2. Әрбір тақ натурал

$n$ үшін

$P\left( x-\dfrac{1}{x} \right)={{x}^{n}}-\dfrac{1}{{{x}^{n}}}$ теңдігін қанағаттандыратын

$n$ дәрежелі жалғыз

$P\left( x \right)$ көпмүшелік бар екенін дәлелде. Бұл тұжырым барлық натурал

$n$ үшін орындала ма?
комментарий/решение

Есеп №3. Центрі

$O$ болатын шеңбер

$ABC$ үшбұрышына іштей сызылған және

$AB$ мен

$BC$ қабырғаларын сәйкесінше

${{C}_{1}}$ мен

${{A}_{1}}$ нүктелерінде жанайды.

$CO$ мен

$AO$ түзулері

${{C}_{1}}{{A}_{1}}$ түзуін сәйкес

$K$ мен

$L$ нүктелерінде қияды,

$M$ нүктесі —

$AC$ -нын ортасы,

$\angle ABC=60{}^\circ$ .

$KLM$ дұрыс үшбұрыш екенін дәлелде.
комментарий/решение(1)

Есеп №4. Бір үйде жеті тазша тұрады және олардың әрқайсының өз телпегі бар (біреу ғана). Бір күні таңертең абайсызда екі тазша телпектерін ауыстырып алады. Кез келген мезетте кез келген үш тазшаға дөңгелек үстелді айнала отырып, телпектерін оң жақтағы көршісіне беруге рұксат. Кешке қарай тазшалардың бәрі өз телпектеріне ие болуы мүмкін бе?
комментарий/решение

Есеп №5. Егер

${{x}_{1}},{{x}_{2}},\ldots ,{{x}_{n}}$ және

${{y}_{1}},{{y}_{2}},\ldots ,{{y}_{n}}$ нақты сандары

${{x}_{1}}\ge {{x}_{2}}\ge \ldots \ge {{x}_{n}} > 0$ және

${{y}_{1}}\ge {{x}_{1}}$ ,

${{y}_{1}}{{y}_{2}}\ge {{x}_{1}}{{x}_{2}}$ ,

$\ldots$ ,

${{y}_{1}}{{y}_{2}}\ldots {{y}_{n}}\ge {{x}_{1}}{{x}_{2}}\ldots {{x}_{n}}$ шарттарын қанағаттандыратын болса, онда

$n{{y}_{1}}+(n-1){{y}_{2}}+\ldots +{{y}_{n}}\ge {{x}_{1}}+2{{x}_{2}}+\ldots +n{{x}_{n}}$ болатынын дәлелде.
комментарий/решение(1)

Есеп №6.

${{a}_{1}},{{a}_{2}},\ldots {{a}_{1999}}$ натурал сандар тізбегінде

${{a}_{n}}-{{a}_{n-1}}-{{a}_{n-2}}$ саны 100-ге бөлінеді

$\left( 3\le n\le 1999 \right)$ .

${{a}_{1}}=19$ және

${{a}_{2}}=99$ болса, онда

$a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+\ldots +a_{1999}^{2}$ санын 8-ге бөлгендегі қалдықты тап.
комментарий/решение(2)

Есеп №7. Радиусы 1-ге тең сферада

$P$ нүктесі берілген.

$P$ -дан шығатын өзара перпендикуляр үш сәуле сфераны

$A$ ,

$B$ және

$C$ нүктелерінде қияды. Осындай барлық мүмкін

$ABC$ үшбұрыштарының жазықтықтары бір нүктеден өтетінін дәлелде және

$ABC$ үшбұрышы ауданының ең үлкен мүмкін мәнін тап.
комментарий/решение

Есеп №8.

$\sum\limits_{i=1}^{n-1}{\left| {{a}_{i}}-{{a}_{i+1}} \right|}$ қосындысы ең үлкен мәнге ие болатындай,

$\left\{ 1,2,\ldots ,n \right\}$ жиынының барлық

$\left\{ {{a}_{1}},{{a}_{2}},\ldots ,{{a}_{n}} \right\}$ алмастыруларының санын табыңыздар.
комментарий/решение(3)