Республиканская олимпиада по математике, 1999 год, 11 класс

Докажите, что для любого нечетного $n$ существует единственный многочлен $P(x)$ $n$-ой степени, удовлетворяющее уравнению $P\left(x-\frac{1}{x}\right)=x^n-\frac{1}{x^n}.$ Верно ли это утверждение для любого натурального $n$?