қазақша
русскийРеспубликанская олимпиада по математике, 1999 год, 11 класс
Задача №1. Докажите, что для любых действительных чисел $a_1, a_2, \dots, a_{100}$ существует такое действительное число $b$ такое, что все числа $a_i+b$ ($1\leq i\leq 100$) — иррациональные.
комментарий/решение
комментарий/решение
Задача №2. Докажите, что для любого нечетного $n$ существует единственный многочлен $P(x)$ $n$-ой степени, удовлетворяющее уравнению $P\left(x-\frac{1}{x}\right)=x^n-\frac{1}{x^n}.$ Верно ли это утверждение для любого натурального $n$?
комментарий/решение
комментарий/решение
Задача №3. Окружность вписанная в треугольник $ABC$ касается сторон $AB$ и $BC$ в точках $C_1$ и $A_1$ соответственно. Прямые $CO$ и $AO$ пересекает прямую $C_1A_1$ в точках $K$ и $L$. $M$ — середина $AC$ и $\angle ABC=60^\circ$. Доказать, что $KLM$ — правильный треугольник.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №4. В одном доме живут семь гномов и у каждого есть своя шляпа. В один день утром два гнома по неосторожности поменялись шляпами. В любое время любые три гнома могут сесть за круглый стол и обменяться шляпами по часовой стрелке. Возможно ли, что к вечеру все гномы будут при своих шляпах.
комментарий/решение
комментарий/решение
Задача №5. Для действительных чисел $x_1, x_2, \dots, x_n$ и $y_1, y_2, \dots, y_n$ выполнены неравенства $x_1\geq x_2\geq \ldots\geq x_n >0$ и
$$
y_1\geq x_1, ~y_1y_2 \geq x_1x_2, ~\dots, ~y_1y_2 \dots y_n \geq x_1x_2 \dots x_n.
$$
Докажите, что $ny_1+(n-1)y_2+ \dots +y_n\geq x_1+2x_2+ \dots +nx_n$.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №6. В последовательности натуральных чисел $a_1$, $a_2$, $\dots$, $a_{1999}$,
$a_n-a_{n-1}-a_{n-2}$ делится на 100 $(3\leq n \leq 1999)$. Известно, что $a_1=19$ и $a_2=99$. Найдите остаток от деления числа $a_1^2+a_2^2+ \dots +a_{1999}^2$ на 8.
комментарий/решение(2)
комментарий/решение(2)
Задача №7. На сфере с радиусом 1 дана точка $P$. Три взаимно перпендикулярные
луча, выходящие из точки $P$, пересекают сферу в точках $A$, $B$ и $C$.
Докажите, что все такие возможные плоскости $ABC$ проходят через
фиксированную точку, и найдите максимальную возможную площадь треугольника $ABC$.
комментарий/решение
комментарий/решение
Задача №8. Пусть ${{a}_{1}},{{a}_{2}},\ldots,{{a}_{n}}$ является
перестановкой чисел $1,2,\ldots ,n$, где $n\geq 2$.
Найдите максимальное значение суммы
$$
S(n)=|{{a}_{1}}-{{a}_{2}}|+|{{a}_{2}}-{{a}_{3}}|+\cdots +|{{a}_{n-1}}-{{a}_{n}}|.
$$
комментарий/решение(3)
комментарий/решение(3)