Loading [MathJax]/jax/output/SVG/jax.js

Республиканская олимпиада по математике, 1999 год, 11 класс


В последовательности натуральных чисел a1, a2, , a1999, anan1an2 делится на 100 (3n1999). Известно, что a1=19 и a2=99. Найдите остаток от деления числа a21+a22++a21999 на 8.
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

  1
6 года назад #

n[3,1999]:anan1an20(mod100)an=100kn+an1+an2

an=100kn+99Fn1+19Fn2

a21+a22+...+a21999=192+992+1999n=3(100kn+99Fn1+19Fn2)2=

=(201)2+(1001)2+1999n=3(100kn+(1001)Fn1+(201)Fn2)2

12+12+1999n=3(Fn1+Fn2)2(mod8)

1o.F21+F22+...+F2n=FnFn+12o.FnFmnm

12+12+1999n=3(Fn1+Fn2)2=1999n=1F2n=F1999F2000

A=F1999F2000=F1999(F1999+F1998)F21999(mod8)F1998F6=8

F21999F21=1(mod8)

Ответ:1(a21+a22+...+a21999=8k+1)

  0
4 года 6 месяца назад #

А что такое F_n?