Республиканская олимпиада по математике, 1999 год, 11 класс
В последовательности натуральных чисел a1, a2, …, a1999,
an−an−1−an−2 делится на 100 (3≤n≤1999). Известно, что a1=19 и a2=99. Найдите остаток от деления числа a21+a22+⋯+a21999 на 8.
посмотреть в олимпиаде
Комментарий/решение:
∀n∈[3,1999]:an−an−1−an−2≡0(mod100)⇔an=100kn+an−1+an−2
⇔an=100kn+99Fn−1+19Fn−2
a21+a22+...+a21999=192+992+1999∑n=3(100kn+99Fn−1+19Fn−2)2=
=(20−1)2+(100−1)2+1999∑n=3(100kn+(100−1)Fn−1+(20−1)Fn−2)2≡
≡12+12+1999∑n=3(Fn−1+Fn−2)2(mod8)
1o.F21+F22+...+F2n=FnFn+12o.Fn⋮Fm⇔n⋮m
12+12+1999∑n=3(Fn−1+Fn−2)2=1999∑n=1F2n=F1999F2000
A=F1999F2000=F1999(F1999+F1998)≡F21999(mod8)⇔F1998⋮F6=8
F21999≡F21=1(mod8)
Ответ:1(a21+a22+...+a21999=8k+1)
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.