Республиканская олимпиада по математике, 1999 год, 11 класс

Для действительных чисел $x_1, x_2, \dots, x_n$ и $y_1, y_2, \dots, y_n$ выполнены неравенства $x_1\geq x_2\geq \ldots\geq x_n >0$ и $$y_1\geq x_1, ~y_1y_2 \geq x_1x_2, ~\dots, ~y_1y_2 \dots y_n \geq x_1x_2 \dots x_n.$$ Докажите, что $ny_1+(n-1)y_2+ \dots +y_n\geq x_1+2x_2+ \dots +nx_n$.

Комментарий/решение

Распишем неравенство как и применив к каждой скобке неравенство $AM \geq GM$ также учитывая неравенство в условий

$y_{1}+(y_{1}+y_{2})+(y_{1}+y_{2}+y_{3})+...+(y_{1}+...+y_{n}) \geq y_{1} + 2\sqrt{y_{1}y_{2}}+3\sqrt[3]{y_{1}y_{2}y_{3}}+...+n \cdot \sqrt[n]{y_{1}y_{2}...y_{n}} \geq x_{1} + 2\sqrt{x_{1}x_{2}}+...+n \cdot \sqrt[n]{x_{1}...x_{n}} \geq x_{1}+2\sqrt{x_{2}^2}+...+n \cdot \sqrt[n]{x_{n}^n} = x_{1}+2x_{2}+...+nx_{n}$