Математикадан республикалық олимпиада, 1998-1999 оқу жылы, 11 сынып

Егер ${{x}_{1}},{{x}_{2}},\ldots ,{{x}_{n}}$ және ${{y}_{1}},{{y}_{2}},\ldots ,{{y}_{n}}$ нақты сандары ${{x}_{1}}\ge {{x}_{2}}\ge \ldots \ge {{x}_{n}} > 0$ және ${{y}_{1}}\ge {{x}_{1}}$, ${{y}_{1}}{{y}_{2}}\ge {{x}_{1}}{{x}_{2}}$, $\ldots$, ${{y}_{1}}{{y}_{2}}\ldots {{y}_{n}}\ge {{x}_{1}}{{x}_{2}}\ldots {{x}_{n}}$ шарттарын қанағаттандыратын болса, онда $n{{y}_{1}}+(n-1){{y}_{2}}+\ldots +{{y}_{n}}\ge {{x}_{1}}+2{{x}_{2}}+\ldots +n{{x}_{n}}$ болатынын дәлелде.

Комментарий/решение

Распишем неравенство как и применив к каждой скобке неравенство $AM \geq GM$ также учитывая неравенство в условий

$y_{1}+(y_{1}+y_{2})+(y_{1}+y_{2}+y_{3})+...+(y_{1}+...+y_{n}) \geq y_{1} + 2\sqrt{y_{1}y_{2}}+3\sqrt[3]{y_{1}y_{2}y_{3}}+...+n \cdot \sqrt[n]{y_{1}y_{2}...y_{n}} \geq x_{1} + 2\sqrt{x_{1}x_{2}}+...+n \cdot \sqrt[n]{x_{1}...x_{n}} \geq x_{1}+2\sqrt{x_{2}^2}+...+n \cdot \sqrt[n]{x_{n}^n} = x_{1}+2x_{2}+...+nx_{n}$