Республиканская олимпиада по математике, 1999 год, 11 класс

Окружность вписанная в треугольник $ABC$ касается сторон $AB$ и $BC$ в точках $C_1$ и $A_1$ соответственно. Прямые $CO$ и $AO$ пересекает прямую $C_1A_1$ в точках $K$ и $L$. $M$ — середина $AC$ и $\angle ABC=60^\circ$. Доказать, что $KLM$ — правильный треугольник.

Комментарий/решение

Найдя $\angle ALC_{1} = 180^{\circ}- \dfrac{180^{\circ}+\angle ABC+\angle BAC}{2} = \dfrac{\angle ACB}{2}$ то есть $KLCA, B_{1}LCO$ вписанные, откуда из вписанности $BLCO$ следует $\angle ALC = \angle OB_{1}C = 90^{\circ}$ откуда $\angle AKC = 90^{\circ}$ так как $M$ - середина $KM=ML=\dfrac{AC}{2}$ и $\angle KML = 180^{\circ}-\angle ACB - \angle BAC= \angle ABC = 60^{\circ}$ откуда $KML$ правильный.