Математикадан республикалық олимпиада, 1998-1999 оқу жылы, 11 сынып

Центрі $O$ болатын шеңбер $ABC$ үшбұрышына іштей сызылған және $AB$ мен $BC$ қабырғаларын сәйкесінше ${{C}_{1}}$ мен ${{A}_{1}}$ нүктелерінде жанайды. $CO$ мен $AO$ түзулері ${{C}_{1}}{{A}_{1}}$ түзуін сәйкес $K$ мен $L$ нүктелерінде қияды, $M$ нүктесі — $AC$-нын ортасы, $\angle ABC=60{}^\circ$. $KLM$ дұрыс үшбұрыш екенін дәлелде.

Комментарий/решение

Найдя $\angle ALC_{1} = 180^{\circ}- \dfrac{180^{\circ}+\angle ABC+\angle BAC}{2} = \dfrac{\angle ACB}{2}$ то есть $KLCA, B_{1}LCO$ вписанные, откуда из вписанности $BLCO$ следует $\angle ALC = \angle OB_{1}C = 90^{\circ}$ откуда $\angle AKC = 90^{\circ}$ так как $M$ - середина $KM=ML=\dfrac{AC}{2}$ и $\angle KML = 180^{\circ}-\angle ACB - \angle BAC= \angle ABC = 60^{\circ}$ откуда $KML$ правильный.