Республиканская олимпиада по математике, 1999 год, 11 класс

Пусть ${{a}_{1}},{{a}_{2}},\ldots,{{a}_{n}}$ является перестановкой чисел $1,2,\ldots ,n$, где $n\geq 2$. Найдите максимальное значение суммы $$ S(n)=|{{a}_{1}}-{{a}_{2}}|+|{{a}_{2}}-{{a}_{3}}|+\cdots +|{{a}_{n-1}}-{{a}_{n}}|. $$

Комментарий/решение

Отметим некоторые свойства выражения, пусть $+$ и $-$ будет значит положительный и отрицательный подмодуль, тогда для каких то двух последовательных модуля будет выполнятся $+-=-2a_{l}, \ -+ = 2a_{l}$ для одновременно $++,- -$ пустой элемент, значит все элементы выражения после раскрытия модуля будут чередоваться с $+$ на $-$ и т.д.

Рассмотрим все возможные конечные виды выражении при различных случаях раскрытия модуля, но учитывая что требуется найти максимальное значение. Тогда для этого достаточно рассмотреть некоторые основные случаи не учитывая последовательность расстановки элементов, и считать максимальное значение каждого. Например для $n=5$

в случае $++-+$ и $+-++$ получаем соотвественно $a_{1}-2a_{3}+2a_{4}-a_{5}$ и $a_{1}-2a_{2}+2a_{3}-a_{5}$ будет считать что это один и тот же набор, так как при отыскание максимального значения смысл не меняется.

Докажем что максимальное значение достигается в случае череды $+$ на $-$ или $-$ на $+$ что по сути одно и тоже.

Открыв скобки в таком случае получаем $a_{1}-2a_{2}+2a_{3}-...+a_{n}$ в случае нечетного и $a_{1}-2a_{2}+...-a_{n}$ в случае чётного $n$.

Рассмотрим нечетный случай, что для чётного аналогично.

Распишем выражения как

$S=(a_{1}+2a_{3}+...+2a_{n-2}+a_{n})-(2a_{2}+2a_{4}+...+2a_{n-1}) (1)$ максимальное значения $S$ достигает когда первая скобка максимальная и вторая минимальная иными словами первая скобка это распределение последовательных чисел на отрезке $[\dfrac{n+1}{2},n]$ вторая $[1, \dfrac{n-1}{2}]$ очевидно что числа с коэффициентами $2$ должны быть максимальные для первых скобок, значит $a_{1}+a_{n}=n+2$ так же отметим что конечная сумма коэффициентов перед элементами первой и в второй скобки равны для любых случаев помимо выше рассматриваемого (следует из-за того что знаки чередуется) значит если рассматривать другие случаи раскрытия модуля и считая для них максимальные значения по тому же принципу, достаточно вычесть из $(1)$ любой расстраиваемый случай и учитывая равенство коэффициентов, то получаем что в первой скобки будет опять будет равное количество элементов (следствие равенство суммы коэффициентов) и учитывая что в любой элемент в первой скобки не меньше любого во второго (так как считаем по максимальным) то получена что разность будет положительная, значит только при данном случае $S$ достигает максимума.

То есть из построений выше, следует что максимум достигается например при таком построений (как один из видов построений) для нечётного $n$ к примеру $n=13$ выглядит как $(a_{1},...,a_{n})=(8,6,10,4,12,2,13,1,11,3,9,5,7)$ то есть в центре помещается наибольшее число $n=13$ слева от него идут только четные , справа нечётные, для чётного $n=10$

$(6,1,7,2,8,3,9,4,10,5)$

Откуда можно найти сумму $S_{max}=\dfrac{n^2-3}{2}$ для нечетного и $S_{max}=\dfrac{n^2-2}{2}$ для четного.

а что такое полумодуль?

то есть подмодуль.