Областная олимпиада по математике, 2024 год, 9 класс

Полные решения этих задач опубликованы в книге, доступный для заказа по ссылке

Задача №1. Найдите все тройки простых чисел

$(p,q,r)$ такие, что

$p-q+r=\sqrt{p+q+r}$ . ( А. Васильев )
комментарий/решение(16)

Задача №2. Пусть

$S$ — множество, состоящее из

$n\ge 3$ точек на плоскости, не все из которых лежат на одной прямой. Рассмотрим все отрезки с концами из

$S$ , на которых не лежат другие точки из

$S$ . Оказалось, что все такие отрезки имеют равные длины. Найдите все возможные значения

$n$ . ( Э. Кусдавлетов )
комментарий/решение(3)

Задача №3. На стороне

$AC$ треугольника

$ABC$ выбрана точка

$D$ так, что

$AB\cdot AD=CB\cdot CD$ . Точка

$M$ — середина отрезка

$BD$ . Докажите, что если

$\angle AMC=90^\circ$ , то

$\angle CAM+\angle BCM=\angle ACM+\angle BAM$ . ( А. Васильев )
комментарий/решение(2)

Задача №4. Остроугольный треугольник

$ABC$ вписан в окружность с центром

$O$ . На стороне

$BC$ взята точка

$K$ , из которой опущены перпендикуляры

$KF$ и

$KG$ на стороны

$AB$ и

$AC$ , соответственно. Прямая

$AO$ пересекает прямые

$KG$ и

$KF$ в точках

$D$ и

$E$ соответственно. Докажите, что

$BD\parallel CE$ . ( А. Васильев )
комментарий/решение(3)

Задача №5. Какие положительные рациональные числа можно представить в виде

$\dfrac{x^{20} y^{23}}{z^{2024}},$ где

$x,y,z$ — натуральные числа? ( А. Васильев )
комментарий/решение(2)

Задача №6. Даны положительные действительные числа

$a,b,c$ такие, что

$abc=1$ . Докажите, что

$\left(\dfrac{a^3}{b}+\dfrac{b^3}{c}+\dfrac{c^3}{a}\right)+2\left(\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{a}\right)+(a+b+c) \ge 4(ab+bc+ca).$ ( Зауытхан А. )
комментарий/решение(9)