қазақша
русскийМатематикадан облыстық олимпиада, 2024 жыл, 9 сынып
Полные решения этих задач опубликованы в книге, доступный для заказа по ссылке
Есеп №1. $p-q+r=\sqrt{p+q+r}$ шартын қанағаттандыратын барлық $(p,q,r)$ жай сандардың үштіктерін табыңыз.
(
А. Васильев
)
комментарий/решение(16)
комментарий/решение(16)
Есеп №2. $S$ — барлығы бір түзудің бойында жатпайтын жазықтықтағы $n\ge 3$ нүктеден тұратын жиын. Соңдары $S$-тің нүктелері болатын және осы кесіндіде $S$-тің басқа нүктелері жатпайтын барлық кесінділерді қарастырайық. Осындай кесінділердің барлығының ұзындықтары бірдей болып шықты. $n$-нің барлық мүмкін мәнін табыңыз.
(
Э. Кусдавлетов
)
комментарий/решение(3)
комментарий/решение(3)
Есеп №3. $ABC$ үшбұрышының $AC$ қабырғасынан $AB\cdot AD=CB\cdot CD$ болатындай $D$ нүктесі алынған. $M$ нүктесі $BD$ кесіндісінің ортасы. Егер $\angle AMC=90^\circ$ болса, онда $\angle CAM+\angle BCM=\angle ACM+\angle BAM$ теңдігін дәлелдеңіз.
(
А. Васильев
)
комментарий/решение(2)
комментарий/решение(2)
Есеп №4. $ABC$ сүйірбұрышты үшбұрышы центрі $O$ болатын шеңберге іштей сызылған. $BC$ қабырғасынан $K$ нүктесі алынып, одан $AB$ және $AC$ қабырғаларына сәйкесінше $KF$ және $KG$ перпендикулярлары түсірілген. $AO$ түзуі $KG$ және $KF$ түзулерін сәйкесінше $D$ және $E$ нүктелерінде қияды. $BD\parallel CE$ екенін дәлелдеңіз.
(
А. Васильев
)
комментарий/решение(3)
комментарий/решение(3)
Есеп №5. Қандай оң рационал сандарды $\dfrac{x^{20} y^{23}} {z^{2024}}$ түрінде жазуға болады, мұнда $x,y,z$ натурал сандар?
(
А. Васильев
)
комментарий/решение(2)
комментарий/решение(2)
Есеп №6. $abc=1$ болатындай оң нақты $a,b,c$ сандары берілген. Келесі теңсіздікті дәлелдеңіз \[\left(\dfrac{a^3}{b}+\dfrac{b^3}{c}+\dfrac{c^3}{a}\right)+2\left(\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{a}\right)+(a+b+c) \ge 4(ab+bc+ca).\]
(
Зауытхан А.
)
комментарий/решение(9)
комментарий/решение(9)