Математикадан облыстық олимпиада, 2024 жыл, 9 сынып

Полные решения этих задач опубликованы в книге, доступный для заказа по ссылке

Есеп №1.

$p-q+r=\sqrt{p+q+r}$ шартын қанағаттандыратын барлық

$(p,q,r)$ жай сандардың үштіктерін табыңыз. ( А. Васильев )
комментарий/решение(16)

Есеп №2.

$S$ — барлығы бір түзудің бойында жатпайтын жазықтықтағы

$n\ge 3$ нүктеден тұратын жиын. Соңдары

$S$ -тің нүктелері болатын және осы кесіндіде

$S$ -тің басқа нүктелері жатпайтын барлық кесінділерді қарастырайық. Осындай кесінділердің барлығының ұзындықтары бірдей болып шықты.

$n$ -нің барлық мүмкін мәнін табыңыз. ( Э. Кусдавлетов )
комментарий/решение(3)

Есеп №3.

$ABC$ үшбұрышының

$AC$ қабырғасынан

$AB\cdot AD=CB\cdot CD$ болатындай

$D$ нүктесі алынған.

$M$ нүктесі

$BD$ кесіндісінің ортасы. Егер

$\angle AMC=90^\circ$ болса, онда

$\angle CAM+\angle BCM=\angle ACM+\angle BAM$ теңдігін дәлелдеңіз. ( А. Васильев )
комментарий/решение(2)

Есеп №4.

$ABC$ сүйірбұрышты үшбұрышы центрі

$O$ болатын шеңберге іштей сызылған.

$BC$ қабырғасынан

$K$ нүктесі алынып, одан

$AB$ және

$AC$ қабырғаларына сәйкесінше

$KF$ және

$KG$ перпендикулярлары түсірілген.

$AO$ түзуі

$KG$ және

$KF$ түзулерін сәйкесінше

$D$ және

$E$ нүктелерінде қияды.

$BD\parallel CE$ екенін дәлелдеңіз. ( А. Васильев )
комментарий/решение(3)

Есеп №5. Қандай оң рационал сандарды

$\dfrac{x^{20} y^{23}} {z^{2024}}$ түрінде жазуға болады, мұнда

$x,y,z$ натурал сандар? ( А. Васильев )
комментарий/решение(2)

Есеп №6.

$abc=1$ болатындай оң нақты

$a,b,c$ сандары берілген. Келесі теңсіздікті дәлелдеңіз

$\left(\dfrac{a^3}{b}+\dfrac{b^3}{c}+\dfrac{c^3}{a}\right)+2\left(\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{a}\right)+(a+b+c) \ge 4(ab+bc+ca).$ ( Зауытхан А. )
комментарий/решение(9)