1. Все олимпиады
  2. Математика
  3. Городские олимпиады
  4. Городская Жаутыковская олимпиада
  5. 22-я олимпиада (2022 год)
  6. 7 класс

Городская Жаутыковская олимпиада по математике, 7 класс, 2022 год


Задача №1.  Числа от 1 до 2022 выписали в строчку, и перед каждым поставили звездочку. Получилось $* 1 * 2 * 3 * \ldots * 2022$. Два ученика играют в игру. Игру начинает первый игрок, далее ходят по очереди. Каждый на своем ходу меняет звездочку на знак плюс или минус. После того, как звездочек не останется на доске, подсчитывается результат. Если он чётен, то выигрывает первый игрок, а если нечётен — то второй. Кто выиграет при правильной игре — первый или второй?
комментарий/решение(1)
Задача №2.  Из цифр «0», «1», «2», «3» составили все четырехзначные числа и выписали их в ряд в порядке возрастания (одна цифра может встречаться несколько раз в одном числе). Какое число в ряду будет стоять на 99-ом месте?
комментарий/решение(1)
Задача №3.  Действительные числа $x$, $y$ и $z$ таковы, что $x+y=\frac{xy}{2}$, $y+z=\frac{yz}{3}$ и $z+x=\frac{zx}{4}.$ Найдите значение $z$, если $xyz > 0$.
комментарий/решение(1)
Задача №4.  В остроугольном треугольник $ABC$, $AB=AC$. Точка $D$ — основание высоты опущенного из вершины $B$ на $CA$, а точка $E$ — основание перпендикуляра, опущенного из точки $D$ на $BC$. Известно, что $BC=AB+AD$. Докажите, что $BE=CD$.
комментарий/решение(1)
Задача №5.  Прямоугольник разбили двумя прямыми, параллельными его сторонам, на четыре прямоугольника. Один из них оказался квадратом, а периметры прямоугольников, соседних с ним по стороне, равны 20 см и 22 см. Найдите площадь исходного прямоугольника.
комментарий/решение(1)
Задача №6.  В выпуклом четырехугольнике $PQRS$ даны длины сторон: $PQ=40$, $PS=60$ и $RS=20$. Найдите значение $\angle QRS$, если $\angle QPS=\angle RSP=60{}^\circ$.
комментарий/решение(2)
Задача №7.  Четырехзначное число называется хорошим, если в его записи найдутся три различные цифры из множества $\{0,1,2,3\}$, а четвертая цифра, если она отлична от трех предыдущих, не из этого множества. Например, числа 1024, 2100 — хорошие, а числа 1023, 2128 не являются хорошими. Найдите общее количество хороших чисел.
комментарий/решение
Задача №8.  Найдите наибольшее натуральное число $n$ такое, что $n^3+10$ делится на число $n+10$.
комментарий/решение(2)