Городская Жаутыковская олимпиада по математике, 7 класс, 2022 год

Действительные числа $x$, $y$ и $z$ таковы, что $x+y=\frac{xy}{2}$, $y+z=\frac{yz}{3}$ и $z+x=\frac{zx}{4}.$ Найдите значение $z$, если $xyz > 0$.

Комментарий/решение

$x=\dfrac{2y}{y-2}, \ z=\dfrac{3y}{y-3}$

с первого и второго, подставляя в третье

$\dfrac{2y}{y-2}+\dfrac{3y}{y-3} = \dfrac{6y^2}{4(y-2)(y-3)}$

$\dfrac{2y(y-3)+3y(y-2)}{(y-2)(y-3)}=\dfrac{6y^2}{4(y-2)(y-3)}$

$20y^2-48y=6y^2, \ n \ne 0,2,3$

$14y^2=48y$

$y=\dfrac{24}{7}$

Тогда $z=24$