Городская Жаутыковская олимпиада по математике, 7 класс, 2022 год

В выпуклом четырехугольнике $PQRS$ даны длины сторон: $PQ=40$, $PS=60$ и $RS=20$. Найдите значение $\angle QRS$, если $\angle QPS=\angle RSP=60{}^\circ$.

Комментарий/решение

решение: продлим PQ и RS по пересечения в X, причем получившийся треугольник XPS является равносторонний. Причем QX = 20, RX=40. Треугольник XQR прямоугольный так как если взять прямоугольный треугольник с гипотенузой 40, и углами 60 и 30 то он равен тому треугольнику а значит угол XRQ равен 30 а значит угол QRS равен 150.

скучное решение, но все же:

Опустим из точек R, Q перпендикуляры QT, RV на PS. Нетрудно понять что QT=2*RV и TQRV - Трапеция. Тогда легко посчитаем угол QRS=120, тогда искомый угол равен 150.