Городская Жаутыковская олимпиада по математике, 7 класс, 2022 год

Числа от 1 до 2022 выписали в строчку, и перед каждым поставили звездочку. Получилось $* 1 * 2 * 3 * \ldots * 2022$. Два ученика играют в игру. Игру начинает первый игрок, далее ходят по очереди. Каждый на своем ходу меняет звездочку на знак плюс или минус. После того, как звездочек не останется на доске, подсчитывается результат. Если он чётен, то выигрывает первый игрок, а если нечётен — то второй. Кто выиграет при правильной игре — первый или второй?

Комментарий/решение

$(*)$Разницы не будет, когда стоит плюс и когда минус.

Ответ: второй игрок. Разобьём числа на пары так:

$(1,2);(3;4);...;(2021;2022)$.

Выигрышная стратегия для второго , первый ставит какой-то знак перед произвольным числом и это число обязано попасть в какую-то из этих пар. Соответственно второй должен ставить противоположный знак перед 2 числом из этой пары. Тем самым сумма в этой паре либо 1, либо -1. Так как таких пар 1011, сумма всегда будет нечётная.