Городская Жаутыковская олимпиада по математике, 7 класс, 2022 год

1-ден 2022-ге дейінгі сандарды бір қатарға тізіп шығып, әр санның алдына жұлдызша қойған. Сонда $* 1 * 2 * 3 * \ldots * 2022$ жазуы шыққан. Екі ойыншы ойын ойнайды. Ойынды бірінші ойыншы бастайды, әрі қарай кезектесіп жүреді. Әр ойыншы өз жүрісінде қандай да бір жұлдызшаны плюс немесе минус таңбасына өзгертеді. Сосын, тақтада жұлдызшалар қалмаған кезде, тақтадағы өрнек мәні есептелінеді. Егер ол жұп сан болса, бірінші ойыншы ұтады, егер тақ болса, екінші ойыншы ұтады. Дұрыс ойында қай ойыншы ұтады: бірінші ма, әлде екінші ма?

Комментарий/решение

$(*)$Разницы не будет, когда стоит плюс и когда минус.

Ответ: второй игрок. Разобьём числа на пары так:

$(1,2);(3;4);...;(2021;2022)$.

Выигрышная стратегия для второго , первый ставит какой-то знак перед произвольным числом и это число обязано попасть в какую-то из этих пар. Соответственно второй должен ставить противоположный знак перед 2 числом из этой пары. Тем самым сумма в этой паре либо 1, либо -1. Так как таких пар 1011, сумма всегда будет нечётная.