Городская Жаутыковская олимпиада по математике, 7 класс, 2022 год

Найдите наибольшее натуральное число $n$ такое, что $n^3+10$ делится на число $n+10$.

Комментарий/решение

$(n³+1000)-(n³+10)=990$ что делиться на $n+10$.Значит наибольший $n=980$

$n+10 \equiv 0 \pmod n+10$

$n \equiv -10 \pmod n+10$

${n^3} \equiv -1000 \pmod n+10$

${n^3+10} \equiv -990 \pmod n+10$

Так как $n^3+10$ делится на $n+10$ значит 990 делится на $n+10$.

$n+10=990$

Наибольшый n=980