1. Олимпиадалар тізімі
  2. Математика олимпиадалары
  3. Қалалық олимпиадалар
  4. Қалалық Жәутіков олимпиадасы
  5. 22-я олимпиада (2022 год)
  6. 7 класс

Городская Жаутыковская олимпиада по математике, 7 класс, 2022 год


Есеп №1.  1-ден 2022-ге дейінгі сандарды бір қатарға тізіп шығып, әр санның алдына жұлдызша қойған. Сонда $* 1 * 2 * 3 * \ldots * 2022$ жазуы шыққан. Екі ойыншы ойын ойнайды. Ойынды бірінші ойыншы бастайды, әрі қарай кезектесіп жүреді. Әр ойыншы өз жүрісінде қандай да бір жұлдызшаны плюс немесе минус таңбасына өзгертеді. Сосын, тақтада жұлдызшалар қалмаған кезде, тақтадағы өрнек мәні есептелінеді. Егер ол жұп сан болса, бірінші ойыншы ұтады, егер тақ болса, екінші ойыншы ұтады. Дұрыс ойында қай ойыншы ұтады: бірінші ма, әлде екінші ма?
комментарий/решение(1)
Есеп №2.  «0», «1», «2», «3» цифрларынан барлық төрт таңбалы сандарды құрастырып, оларды өсу ретімен бір қатарға жазып шықты (бірдей цифрлар бір санда бірнеше рет кездесуі мүмкін). Қатарда 99-шы орында қандай сан жазылған?
комментарий/решение(1)
Есеп №3.  Нақты $x$, $y$ және $z$ сандары үшін $x+y=\frac{xy}{2}$, $y+z=\frac{yz}{3}$ және $z+x=\frac{zx}{4}$ теңдіктері орындалады. Егер $xyz > 0$ болса, онда $z$ саны нешеге тең.
комментарий/решение(1)
Есеп №4.  Сүйірбұрышты $ABC$ үшбұрышында $AB=AC$. $D$ нүктесі $B$ төбеден $AC$-ға жүргізілген биіктік табаны, ал $E$ нүктесі $D$ нүктесінен $BC$-ға түсірілген перпендикуляр табаны. $BC=AB+AD$ екені белгілі. $BE=CD$ екенін дәлелдеңіз.
комментарий/решение(1)
Есеп №5.  Қабырғаларына параллель екі түзу арқылы берілген тіктөртбұрышты төрт кіші тіктөртбұрышқа бөлген. Сонда олардың біреуі шаршы болып шық\-қан, ал оған қабырға бойынша көрші екі тіктөртбұрыштардың периметрлері 20 см және 22 см-ге тең. Берілген тіктөртбұрыштың ауданын табыңыз.
комментарий/решение(1)
Есеп №6.  Дөңес $PQRS$ төртбұрышында келесі қабырға ұзындықтары берілген: $PQ=40$, $PS=60$ және $RS=20$. Егер $\angle QPS=\angle RSP=60{}^\circ$ болса, онда $QRS$ бұрышы неше градусқа тең?
комментарий/решение(2)
Есеп №7.  Төрттаңбалы санның жазылуында $\{0,1,2,3\}$ жиынынан алынған әр түрлі үш цифрлар табылса, және, егер төртінші цифр алдыңғы үш цифрдан өзгеше болған кезде, осы төртінші цифр сол жиыннан болмаса, сол төрттаңбалы санды жақсы деп атаймыз. Мысалға, 1024, 2100 сандары жақсы, ал 1023, 2128 сандары жақсы болып табылмайды. Барлығы қанша жақсы сан бар?
комментарий/решение
Есеп №8.  $n^3+10$ саны $n+10$ санына бөлінетіндей, ең үлкен натурал $n$ санын табыңыз.
комментарий/решение(2)