Городская Жаутыковская олимпиада по математике, 8 класс, 2019 год

Задача №1. Пусть даны целые числа

$a,$

$b,$

$c$ такие, что

$\frac{19 \cdot 20}{2019 \cdot 2020}=\frac {a}{673}+\frac{b}{101}+\frac {c}{60}$ . Найдите остаток от деления числа

$a+11b+10c$ на 73. ( Ибатулин И. )
комментарий/решение(1)

Задача №2. Имеется 185 монет, из них ровно 7 фальшивых. Все настоящие монеты весят одинаково, все фальшивые монеты также весят одинаково. Фальшивая монета легче настоящей. Как за 3 взвешивания на чашечных весах без гирь отобрать 23 настоящие монеты?
комментарий/решение(1)

Задача №3. Дано

$S = \frac{1}{1} + \frac{1}{{1 + 3}} + \frac{1}{{1 + 3 + 5}} + \ldots + \frac{1}{{1 + 3 + 5 + \ldots + 4019}}.$ Докажите неравенство

$\frac{2010}{2011} < S < \frac{2010}{2011}+1$ .
комментарий/решение(4)

Задача №4. В треугольнике

$ABC$ стороны

$AC$ и

$BC$ равны. Биссектриса угла

$BAC$ пересекает

$BC$ в точке

$E$ . На стороне

$AB$ отмечена точка

$D$ . Прямые

$AE$ и

$CD$ пересекаются в точке

$N$ . Известно, что

$\angle CDB=\angle CEA=60^\circ$ . Докажите, что периметр треугольника

$CEN$ равен отрезку

$AB$ .
комментарий/решение(1)

Задача №5. Дано множество

$M=\{1,3,5, \ldots, 87,89\}$ . Найдите количество подмножеств множества

$M$ , сумма элементов которых равна 2000.
комментарий/решение(3)

Задача №6. Диагонали выпуклого вписанного четырехугольника

$ABCD$ пересекаются в точке

$O$ . Пусть

$OA_1$ ,

$OB_1$ ,

$OC_1$ ,

$OD_1$ — высоты треугольников

$OAB$ ,

$OBC$ ,

$OCD$ ,

$ODA$ соответственно. Известно, что

$A_1B_1=32$ ,

$B_1C_1=23,$

$C_1D_1=30$ . Найдите

$D_1A_1$ .
комментарий/решение(2)

Задача №7. Найдите все пары целых чисел

$(x,y)$ таких, что

$x \cdot 2^{x+4}+3y+16x+3y \cdot 2^x=2010.$
комментарий/решение(6)

Задача №8. Попарно взаимно простые натуральные числа

$a,b,c$ таковы, что

$(a^2-bc)^2$ делится на

$ab+bc+ac.$ Докажите, что

$(b^2-ac)^2$ также делится на

$ab+bc+ac.$
комментарий/решение(1)