Городская Жаутыковская олимпиада по математике, 8 класс, 2019 год

Найдите все пары целых чисел $(x,y)$ таких, что $x \cdot 2^{x+4}+3y+16x+3y \cdot 2^x=2010.$

Комментарий/решение

Не красивая задача, 2010...

Ответ (0, 335)

16x*2^x+3y+16x+3y*2^x=2010

2^x(16x+3y)+16x+3y=2010

(2^x+1)(16x+3y)=2010

так как 2^x+1 нечетное, 16x+3y четное, значит y четное. Рассмотрим все делители 2010 {1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30, 67, 134, 201, 335, 402, 670, 1005, 2010}, убедились что только 2^x+1=1 или 2^x+1=2.

Подставляем x=1, y не целое выходит. Подставляем x=0, y=335.

я написал решение полное и красивое иииииииии куда то нажал и все пропало....

Да, такое иногда бывает. Когда все исчезает, нажмите на "Добавить", там находится набранное решение (у меня так работает). Дальше можно скопировать текст.

ответ (0 335) (1 218)

16x*2^x+3y+16x+3y*2^x=2010

2^x(16x+3y)+16x+3y=2010

(2^x+1)(16x+3y)=2010

так как 2^x+1 нечетное, 16x+3y четное, значит y четное. Рассмотрим все делители 2010 {1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30, 67, 134, 201, 335, 402, 670, 1005, 2010}, убедились что только 2^x+1=1 или 2^x+1=2.

Подставляем x=1, y не целое выходит. Подставляем x=0, y=335.

В задании сказано все пары целых чисел. Выше указанные ответы верны, но есть ещё один ответ.

(-1; 452), (0; 335), (1; 218)