Городская Жаутыковская олимпиада по математике, 8 класс, 2019 год

Задача №1.  Пусть даны целые числа $a,$ $b,$ $c$ такие, что $\frac{19 \cdot 20}{2019 \cdot 2020}=\frac {a}{673}+\frac{b}{101}+\frac {c}{60}$. Найдите остаток от деления числа $a+11b+10c$ на 73. ( Ибатулин И. )
комментарий/решение(1)

---

Задача №2.  Имеется 185 монет, из них ровно 7 фальшивых. Все настоящие монеты весят одинаково, все фальшивые монеты также весят одинаково. Фальшивая монета легче настоящей. Как за 3 взвешивания на чашечных весах без гирь отобрать 23 настоящие монеты?
комментарий/решение(1)

---

Задача №3.  Дано $S = \frac{1}{1} + \frac{1}{{1 + 3}} + \frac{1}{{1 + 3 + 5}} + \ldots + \frac{1}{{1 + 3 + 5 + \ldots + 4019}}.$ Докажите неравенство $\frac{2010}{2011} < S < \frac{2010}{2011}+1$.
комментарий/решение(4)

---

Задача №4.  В треугольнике $ABC$ стороны $AC$ и $BC$ равны. Биссектриса угла $BAC$ пересекает $BC$ в точке $E$. На стороне $AB$ отмечена точка $D$. Прямые $AE$ и $CD$ пересекаются в точке $N$. Известно, что $\angle CDB=\angle CEA=60^\circ$. Докажите, что периметр треугольника $CEN$ равен отрезку $AB$.
комментарий/решение(1)

---

Задача №5.  Дано множество $M=\{1,3,5, \ldots, 87,89\}$. Найдите количество подмножеств множества $M$, сумма элементов которых равна 2000.
комментарий/решение(3)

---

Задача №6.  Диагонали выпуклого вписанного четырехугольника $ABCD$ пересекаются в точке $O$. Пусть $OA_1$, $OB_1$, $OC_1$, $OD_1$ — высоты треугольников $OAB$, $OBC$, $OCD$, $ODA$ соответственно. Известно, что $A_1B_1=32$, $B_1C_1=23,$ $C_1D_1=30$. Найдите $D_1A_1$.
комментарий/решение(2)

---

Задача №7.  Найдите все пары целых чисел $(x,y)$ таких, что $x \cdot 2^{x+4}+3y+16x+3y \cdot 2^x=2010.$
комментарий/решение(6)

---

Задача №8.  Попарно взаимно простые натуральные числа $a,b,c$ таковы, что $(a^2-bc)^2$ делится на $ab+bc+ac.$ Докажите, что $(b^2-ac)^2$ также делится на $ab+bc+ac.$
комментарий/решение(1)

---