Городская Жаутыковская олимпиада по математике, 8 класс, 2019 год

Дано $S = \frac{1}{1} + \frac{1}{{1 + 3}} + \frac{1}{{1 + 3 + 5}} + \ldots + \frac{1}{{1 + 3 + 5 + \ldots + 4019}}.$ Докажите неравенство $\frac{2010}{2011} < S < \frac{2010}{2011}+1$.

Комментарий/решение

$$I. \qquad 1+3+5+...+(2k-1)=k^2, \qquad \forall k \in \mathbb{N}$$

$$II. \qquad \forall a\ne b>0 : \qquad a<b \Rightarrow \frac{1}{a}>\frac{1}{b}$$

$$1=1^2$$

$$1+3=2^2$$

$$1+3+5=3^2$$

$$1+3+5+...+4019=2010^2$$

$$S=\frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+...+\frac{1}{2010^2}$$

$$II. \qquad \Rightarrow \frac{1}{k(k+1)}<\frac{1}{k^2}<\frac{1}{k(k-1)}$$

$$A<S<B$$

$$A=\frac{1}{1\cdot 2}+\frac{1}{2\cdot3}+\frac{1}{3\cdot4}+...+\frac{1}{2010\cdot2011}=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+...+\frac{1}{2010}-\frac{1}{2011}=1-\frac{1}{2011}=\frac{2010}{2011}$$

$$B=1+\frac{1}{1\cdot 2}+\frac{1}{2\cdot3}+\frac{1}{3\cdot4}+...+\frac{1}{2010\cdot2009}=1+1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+...+\frac{1}{2009}-\frac{1}{2010}=1+1-\frac{1}{2010}=1+\frac{2009}{2010}$$

Заметим то что 1+3+5+....+(2k-1)=k² (где k $\in$ $N$) $\rightarrow$ S = $\frac{1}{1²}$ + $\frac{1}{2²}$ + $\frac{1}{3²}$ + ..... + $\frac{1}{2010²}$. А по теории Римана: $\sum \limits_{n=1}^{2010}{\frac{1}{n^2}}$ $\approx$ $\frac{ \pi ^ 2}{6}$ $\approx$ 1,6444. Далее заметим то что если m > 9 (где m $\in$ $N$) в уравнений $\frac {m}{m+1}$ то 1 > $\frac {m}{m+1}$ > 0.9. Отсюда следует то что: $\frac{2010}{2011}$ < S < $\frac{2010}{2011}$ + 1

Тише это всего гжо

ХАХААХАХАХХАХХХААХХАХХАХХАХХ