Городская Жаутыковская олимпиада по математике, 8 класс, 2019 год

Попарно взаимно простые натуральные числа $a,b,c$ таковы, что $(a^2-bc)^2$ делится на $ab+bc+ac.$ Докажите, что $(b^2-ac)^2$ также делится на $ab+bc+ac.$

Комментарий/решение

Из алгоритма Евклида и условия $$НОД(a,ab+bc+ac)=НОД(a,bc)=1.$$ Далее $$0\equiv(a^2-bc)^2\equiv(a^2+ab+ac)^2\pmod{ab+bc+ac}$$ $$ab+bc+ac|a^2(a+b+c)^2$$ $$ab+bc+ac|(a+b+c)^2$$ $$0\equiv b^2(a+b+c)^2= (b^2+ab+bc)^2\equiv (b^2-ac)^2\pmod{ab+bc+ac}$$ что требовалось