Математикажан қалалық Жәутіков олимпиадасы, 8 сынып, 2019 жыл

$a,b,c$ сандарының кез-келген екеуі өзара жай. ${(a^2-bc)^2}$ саны $ab+bc+ac$ санына қалдықсыз бөлінетіні белгілі. ${(b^2-ac)^2}$ санының да $ab+bc+ac$ санына қалдықсыз бөлінетінін дәлелдеңіз.

Комментарий/решение

Из алгоритма Евклида и условия $$НОД(a,ab+bc+ac)=НОД(a,bc)=1.$$ Далее $$0\equiv(a^2-bc)^2\equiv(a^2+ab+ac)^2\pmod{ab+bc+ac}$$ $$ab+bc+ac|a^2(a+b+c)^2$$ $$ab+bc+ac|(a+b+c)^2$$ $$0\equiv b^2(a+b+c)^2= (b^2+ab+bc)^2\equiv (b^2-ac)^2\pmod{ab+bc+ac}$$ что требовалось