Городская Жаутыковская олимпиада по математике, 8 класс, 2019 год

Диагонали выпуклого вписанного четырехугольника $ABCD$ пересекаются в точке $O$. Пусть $OA_1$, $OB_1$, $OC_1$, $OD_1$ — высоты треугольников $OAB$, $OBC$, $OCD$, $ODA$ соответственно. Известно, что $A_1B_1=32$, $B_1C_1=23,$ $C_1D_1=30$. Найдите $D_1A_1$.

Комментарий/решение

Из условия следует что $A_{1}D_{1}AO, \ A_{1}B_{1}BO, \ B_{1}C_{1}CO, \ C_{1}D_{1}DO$ описанные, тогда из равенств вписанных углов получаем равенство углов $\angle OA_{1}D_{1}=\angle CAD = \angle CBD = \angle B_{1}A_{1}O$ то есть $A_{1}O$ биссектриса $\angle B_{1}A_{1}D_{1}$, аналогично с другими, откуда получаем что $O$ центр вписанной окружности $A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$ значит $A_{1}D_{1}=C_{1}D_{1}+A_{1}B_{1} - B_{1}C_{1} = 62-23 = 39$

полагаю имелось ввиду вписанные, а не описанные.