Математикажан қалалық Жәутіков олимпиадасы, 8 сынып, 2019 жыл

Іштей сызылған дөңес $ABCD$ төртбұрышының диагональдары $O$ нүктесінде қиылысады. $OA_1$, $OB_1$, $OC_1$, $OD_1$ кесінділері — сәйкесінше $OAB$, $OBC$, $OCD$, $ODA$ үшбұрыштарының биіктіктері. $A_1B_1=32$, $B_1C_1=23,$ $C_1D_1=30$ екені белгілі. $D_1A_1$ кесіндісінің ұзындығын табыңыз.

Комментарий/решение

Из условия следует что $A_{1}D_{1}AO, \ A_{1}B_{1}BO, \ B_{1}C_{1}CO, \ C_{1}D_{1}DO$ описанные, тогда из равенств вписанных углов получаем равенство углов $\angle OA_{1}D_{1}=\angle CAD = \angle CBD = \angle B_{1}A_{1}O$ то есть $A_{1}O$ биссектриса $\angle B_{1}A_{1}D_{1}$, аналогично с другими, откуда получаем что $O$ центр вписанной окружности $A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$ значит $A_{1}D_{1}=C_{1}D_{1}+A_{1}B_{1} - B_{1}C_{1} = 62-23 = 39$

полагаю имелось ввиду вписанные, а не описанные.