Математикажан қалалық Жәутіков олимпиадасы, 8 сынып, 2019 жыл

Есеп №1.

$\frac{19 \cdot 20}{2019 \cdot 2020}=\frac {a}{673}+\frac{b}{101}+\frac {c}{60}$ шарттарын қанағаттандыратын бүтін

$a,$

$b,$

$c$ сандары берілген.

$a+11b+10c$ қосындысын 73-ке бөлгенде қандай қалдық қалады? ( Ибатулин И. )
комментарий/решение(1)

Есеп №2. 185 тиын бар, олардың дәл 7-уі жалған. Барлық шын тиындар салмақтары бірдей, барлық жалған тиындардың да салмақтары бірдей. Жалған тиын салмағы шын тиын салмағынан жеңіл. Гірсіз екі табақты таразы көмегі арқылы 3 өлшем арқылы 23 шын тиындарды қалай алуға болады?
комментарий/решение(1)

Есеп №3.

$S = \frac{1}{1} + \frac{1}{{1 + 3}} + \frac{1}{{1 + 3 + 5}} + \ldots + \frac{1}{{1 + 3 + 5 + \ldots + 4019}}$ болсын.

$\frac{2010}{2011} < S < \frac{2010}{2011}+1$ теңсіздігін дәлелдеңіз.
комментарий/решение(4)

Есеп №4.

$ABC$ үшбұрышында

$AC=BC$ .

$BAC$ бұрышының биссектрисасы

$BC$ қабырғасын

$E$ нүктесінде қияды.

$AB$ қабырғасында

$D$ нүктесі белгіленген.

$AE$ және

$CD$ түзулері

$N$ нүктесінде қиылысады.

$\angle CDB=\angle CEA=60^\circ$ екені белгілі.

$CEN$ үшбұрышының периметрі

$AB$ кесіндісіне тең екенін дәлелдеңіз.
комментарий/решение(1)

Есеп №5.

$M=\{1,3,5, \ldots, 87,89\}$ жиыны берілген.

$M$ -нің ішкі жиыны болатын және элементтерінің косындысы 2000-ға тең болатын қанша жиын бар?
комментарий/решение(3)

Есеп №6. Іштей сызылған дөңес

$ABCD$ төртбұрышының диагональдары

$O$ нүктесінде қиылысады.

$OA_1$ ,

$OB_1$ ,

$OC_1$ ,

$OD_1$ кесінділері — сәйкесінше

$OAB$ ,

$OBC$ ,

$OCD$ ,

$ODA$ үшбұрыштарының биіктіктері.

$A_1B_1=32$ ,

$B_1C_1=23,$

$C_1D_1=30$ екені белгілі.

$D_1A_1$ кесіндісінің ұзындығын табыңыз.
комментарий/решение(2)

Есеп №7.

$x \cdot 2^{x+4}+3y+16x+3y \cdot 2^x=2010$ теңдігін қанағаттандыратын барлық

$(x,y)$ бүтін сандар жұптарын табыңыз.
комментарий/решение(6)

Есеп №8.

$a,b,c$ сандарының кез-келген екеуі өзара жай.

${(a^2-bc)^2}$ саны

$ab+bc+ac$ санына қалдықсыз бөлінетіні белгілі.

${(b^2-ac)^2}$ санының да

$ab+bc+ac$ санына қалдықсыз бөлінетінін дәлелдеңіз.
комментарий/решение(1)