қазақша
русскийМатематикажан қалалық Жәутіков олимпиадасы, 8 сынып, 2019 жыл
Есеп №1. $\frac{19 \cdot 20}{2019 \cdot 2020}=\frac {a}{673}+\frac{b}{101}+\frac {c}{60}$ шарттарын қанағаттандыратын бүтін $a,$ $b,$ $c$ сандары берілген. $a+11b+10c$ қосындысын 73-ке бөлгенде қандай қалдық қалады?
(
Ибатулин И.
)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Есеп №2. 185 тиын бар, олардың дәл 7-уі жалған. Барлық шын тиындар салмақтары бірдей, барлық жалған тиындардың да салмақтары бірдей. Жалған тиын салмағы шын тиын салмағынан жеңіл. Гірсіз екі табақты таразы көмегі арқылы 3 өлшем арқылы 23 шын тиындарды қалай алуға болады?
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Есеп №3. $S = \frac{1}{1} + \frac{1}{{1 + 3}} + \frac{1}{{1 + 3 + 5}} + \ldots + \frac{1}{{1 + 3 + 5 + \ldots + 4019}}$ болсын. $\frac{2010}{2011} < S < \frac{2010}{2011}+1$ теңсіздігін дәлелдеңіз.
комментарий/решение(4)
комментарий/решение(4)
Есеп №4. $ABC$ үшбұрышында $AC=BC$. $BAC$ бұрышының биссектрисасы $BC$ қабырғасын $E$ нүктесінде қияды. $AB$ қабырғасында $D$ нүктесі белгіленген. $AE$ және $CD$ түзулері $N$ нүктесінде қиылысады. $\angle CDB=\angle CEA=60^\circ$ екені белгілі. $CEN$ үшбұрышының периметрі $AB$ кесіндісіне тең екенін дәлелдеңіз.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Есеп №5. $M=\{1,3,5, \ldots, 87,89\}$ жиыны берілген. $M$-нің ішкі жиыны болатын және элементтерінің косындысы 2000-ға тең болатын қанша жиын бар?
комментарий/решение(3)
комментарий/решение(3)
Есеп №6. Іштей сызылған дөңес $ABCD$ төртбұрышының диагональдары $O$ нүктесінде қиылысады. $OA_1$, $OB_1$, $OC_1$, $OD_1$ кесінділері — сәйкесінше $OAB$, $OBC$, $OCD$, $ODA$ үшбұрыштарының биіктіктері. $A_1B_1=32$, $B_1C_1=23,$ $C_1D_1=30$ екені белгілі. $D_1A_1$ кесіндісінің ұзындығын табыңыз.
комментарий/решение(2)
комментарий/решение(2)
Есеп №7. $x \cdot 2^{x+4}+3y+16x+3y \cdot 2^x=2010$ теңдігін қанағаттандыратын барлық $(x,y)$ бүтін сандар жұптарын табыңыз.
комментарий/решение(6)
комментарий/решение(6)
Есеп №8. $a,b,c$ сандарының кез-келген екеуі өзара жай. ${(a^2-bc)^2}$ саны $ab+bc+ac$ санына қалдықсыз бөлінетіні белгілі. ${(b^2-ac)^2}$ санының да $ab+bc+ac$ санына қалдықсыз бөлінетінін дәлелдеңіз.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)