Loading [MathJax]/jax/output/SVG/jax.js

Математикажан қалалық Жәутіков олимпиадасы, 8 сынып, 2019 жыл


192020192020=a673+b101+c60 шарттарын қанағаттандыратын бүтін a, b, c сандары берілген. a+11b+10c қосындысын 73-ке бөлгенде қандай қалдық қалады? ( Ибатулин И. )
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

  0
3 года 9 месяца назад #

Ответ: 15

Приведем к общему знаменателю и получим:

19•20=6060a+673•60b+673•101c

Если разделить обе стороны на 73, то остаток слева 15, значит и справа такой же.

19•20 сравнимо с 15 по модулю 73,

6060 сравнимо с 1 по модулю 73

Пусть a сравнимо с х по модулю 73, тогда по свойству сравнений по модулю, 6060а сравнимо с х по модулю 73.

Пусть b сравнимо с y, и 673•60 сравнимо с 11 по модулю 73, тогда 673•60b сравнимо с 11y по модулю 73.

Пусть c сравнимо с z по модулю 73, и 673•101 сравнимо с 10 по модулю 73, тогда 673•101с сравнимо с 10z по модулю 73.

В итоге получаем:

x+11y+10z сравнимо с 15 по модулю 73.

Используя свойства сравнений по модулю получаем: a+11b+10c сравнимо с 15 по модулю 73.