Математикадан облыстық олимпиада, 2002-2003 оқу жылы, 11 сынып

Полные решения этих задач опубликованы в книге, доступный для заказа по ссылке

Есеп №1. Теңбүйірлі

$ABC$

$\left( AB=BC \right)$ үшбұрышының

$BC$ қабырғасының бойынан

$D$ нүктесі белгіленген және

$A{{D}^{2}}=BD\cdot BC$

$\left( D\ne C \right)$ . Онда

$AD=AB$ екенін дәледдеңіздер.
комментарий/решение(1)

Есеп №2. Барлық

$x,y\in {{\mathbb{N}}_{0}}$ үшін

$f(3x+2y)=f(x)f(y)$ шартын қанағаттандыратын барлық

$f:{{\mathbb{N}}_{0}}\to {{\mathbb{N}}_{0}}$ функциясын табыңыз. (Мұндағы

$f:{{\mathbb{N}}_{0}}\to {{\mathbb{N}}_{0}}$ дегеніміз,

$f$ функциясы теріс емес бүтін сандарда анықталып,

$f$ функциясының барлық мәні теріс емес оң сан деген мағынаны біддіреді).
комментарий/решение(3)

Есеп №3.

$n$ -ның қандай мәндерінде

${{x}^{3}}+{{y}^{3}}+{{z}^{3}}=n{{x}^{2}}{{y}^{2}}{{z}^{2}}$ теңдеуінің натурал шешімдері бар?
комментарий/решение(2)

Есеп №4.

$S=\{1,\ 2, \ldots,\ n\}$ болсын.

$\varnothing \subseteq A\subseteq B\subseteq C\subseteq S$ және

$|B|=\dfrac{|A|+|C|}{2}$ шартын қанағаттандыратын барлық мүмкін болатын

$\left( A,B,C \right)$ үштіктерінің жалпы саны

$C_{2n}^{n}$ -ке тең екенін дәледдеңіздер. Мұндағы

$|X|$ дегеніміз

$X$ жиынындағы элементтердің жалпы санын біддіреді, ал

$C_{2n}^{n}=\dfrac{(2n)!}{n!n!}$ .
комментарий/решение

Есеп №5.

$ABC$ үшбұрышы берілген.

$\Gamma$ шеңбері

$BC$ қабырғасын

$P$ нүктесінде жанайды, және

$A$ төбесі осы шеңбердің ішінде жатыр.

$\Gamma$ шеңбері

$AB$ және

$AC$ қабырғаларын сәйкесінше

$M$ және

$N$ нүктелерінде қияды.

$\Gamma$ шеңбері

$ABC$ үшбұрышына сырттай сызылған шеберді тек

$MP$ және

$NP$ доғалары тең болған жағдайда ғана жанайтынын дәлелдеңіздер.
комментарий/решение

Есеп №6.

${{x}^{2}}+1$ саны

$y$ -ке,

${{y}^{3}}+1$ саны

${{x}^{2}}$ -қа бөлінетіндей барлық

$\left( x,y \right)$ жұптарын табыңыз.
комментарий/решение(1)

Есеп №7. Халықаралық конференцияда төрт ресми тіл бар, және коференцияға қатысушы кез келген екі адам қандай да бір ортақ тілдің біреуімен сөйлесе алатыны белгілі. Қандай да бір тілді қатысушылардың кем дегенде

$60\%$ -ы білетінін дәледдеңіз.
комментарий/решение

Есеп №8. Жазықтықта ұзындықтарының қосындысы бірге тең 2003 кесінді берілген. Осы кесінділерінің проекцияларының қосындысы

$2/3$ -тен кіші болатындай қандай да бір

$l$ түзуі табылатынын дәлелдеңіздер.
комментарий/решение(1)