Loading [MathJax]/jax/output/SVG/jax.js

Областная олимпиада по математике, 2003 год, 11 класс


Найдите все натуральные числа x, y такие, что x2+1 делится на y, а y3+1 делится на x2.
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

  0
3 года 8 месяца назад #

Ответ:(1,1);(3,5);(1,2).

Из условия выходит что x2+1=yk И y3+1=lx2, где k,l натуральны. Очевидно что y3+1=l(yk1). По моду y можно понять что l=ym1, где m натурально. Тогда y3+1=(ym1)(yk1) или y2mky+m+k=0. Теперь рассмотрим это как квадратное уравнение. Так как решение уравнение должно быть натуральным, то и дискриминант должен быть точный квадратом: D=m2k24(m+k)=n2, далее 4(m+k)=(mkn)(mk+n). Так как mk+nm+k, то при mkn>4 нет решений. Ззначит рассмотрим 4 случая:

I)mkn=4,mk+n=m+k. Из чего k=n=1 или m=n=1. При m=n=1, k=4, но y не натурально. А при k=n=1, m=4 Из чего выходят что y=2,x=1.

II)mkn=3. 4(m+k)=3(mkn), 4(m+k)=3(2mk3), но по моду 2 у этого уравнений нет решений.

III)mkn=2,2(m+k)=mk+n. Далее 2(m+k)=2mk2, что эквивалентно (m1)(k1)=2. По уравнению Деофана: (m,k)=(3,2);(2,3). Так как на y Не влияет перестановка m,k, решим уравнение y26y+5=0. y=1;5

i)y=1. При k=2,x=1, а при k=3,x Не натурально.

ii)y=5. При k=2,x=3, а при k=3,x не натурально.

IV)mkn=1,4(m+k)=mk+n, или 4(m+k)=2mk1 по моду 2 решений нет.