Областная олимпиада по математике, 2003 год, 11 класс
Комментарий/решение:
Ответ:(1,1);(3,5);(1,2).
Из условия выходит что x2+1=yk И y3+1=lx2, где k,l натуральны. Очевидно что y3+1=l(yk−1). По моду y можно понять что l=ym−1, где m натурально. Тогда y3+1=(ym−1)(yk−1) или y2−mky+m+k=0. Теперь рассмотрим это как квадратное уравнение. Так как решение уравнение должно быть натуральным, то и дискриминант должен быть точный квадратом: D=m2k2−4(m+k)=n2, далее 4(m+k)=(mk−n)(mk+n). Так как mk+n≥m+k, то при mk−n>4 нет решений. Ззначит рассмотрим 4 случая:
I)mk−n=4,mk+n=m+k. Из чего k=n=1 или m=n=1. При m=n=1, k=4, но y не натурально. А при k=n=1, m=4 Из чего выходят что y=2,x=1.
II)mk−n=3. 4(m+k)=3(mk−n), 4(m+k)=3(2mk−3), но по моду 2 у этого уравнений нет решений.
III)mk−n=2,2(m+k)=mk+n. Далее 2(m+k)=2mk−2, что эквивалентно (m−1)(k−1)=2. По уравнению Деофана: (m,k)=(3,2);(2,3). Так как на y Не влияет перестановка m,k, решим уравнение y2−6y+5=0. y=1;5
i)y=1. При k=2,x=1, а при k=3,x Не натурально.
ii)y=5. При k=2,x=3, а при k=3,x не натурально.
IV)mk−n=1,4(m+k)=mk+n, или 4(m+k)=2mk−1 по моду 2 решений нет.
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.