Областная олимпиада по математике, 2003 год, 11 класс

Найдите все натуральные числа $x, ~y$ такие, что $x^2+1$ делится на $y$, а $y^3+1$ делится на $x^2$.

Комментарий/решение

$Ответ:(1,1);(3,5);(1,2).$

Из условия выходит что $x^2+1=yk$ И $y^3+1=lx^2$, где $k,l$ натуральны. Очевидно что $y^3+1=l(yk-1)$. По моду $y$ можно понять что $l=ym-1$, где $m$ натурально. Тогда $y^3+1=(ym-1)(yk-1)$ или $y^2-mky+m+k=0$. Теперь рассмотрим это как квадратное уравнение. Так как решение уравнение должно быть натуральным, то и дискриминант должен быть точный квадратом: $D=m^2k^2-4(m+k)=n^2$, далее $4(m+k)=(mk-n)(mk+n)$. Так как $mk+n \geq m+k$, то при $mk-n>4$ нет решений. Ззначит рассмотрим $4$ случая:

$I)mk-n=4, mk+n=m+k$. Из чего $k=n=1$ или $m=n=1$. При $m=n=1$, $k=4$, но $y$ не натурально. А при $k=n=1$, $m=4$ Из чего выходят что $y=2,x=1$.

$II)mk-n=3$. $4(m+k)=3(mk-n)$, $4(m+k)=3(2mk-3)$, но по моду 2 у этого уравнений нет решений.

$III)mk-n=2, 2(m+k)=mk+n$. Далее $2(m+k)=2mk-2$, что эквивалентно $(m-1)(k-1)=2$. По уравнению Деофана: $(m,k)=(3,2);(2,3)$. Так как на $y$ Не влияет перестановка $m,k$, решим уравнение $y^2-6y+5=0$. $y=1;5$

$i)y=1$. При $k=2,x=1$, а при $k=3,x$ Не натурально.

$ii)y=5$. При $k=2,x=3$, а при $k=3,x$ не натурально.

$IV)mk-n=1, 4(m+k)=mk+n$, или $4(m+k)=2mk-1$ по моду 2 решений нет.