Processing math: 100%

Областная олимпиада по математике, 2003 год, 11 класс


Найдите все функции f:N0N0, удовлетворяющие уравнению f(3x+2y)=f(x)f(y), для всех x,yN0. (Запись f:N0N0 означает, что функция f определена на всем множестве неотрицательных целых чисел, и все значения функции f являются неотрицательными целыми числами).
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

  2
8 года 3 месяца назад #

Пусть x,y равны нулю, тогда f(0)=f(0)f(0)=f(0)2, откуда f(0)=0 или f(0)=1. f(2)=f(0)f(1)=f(1); f(3)=f(1)f(0)=f(1);f(4)=f(2)f(0)=f(2)=f(1); f(8)=f(0)f(4)=f(2)f(1), откуда f(1)=1. Делаем вывод, что f(x)=1

Ответ :f(x)=1

  5
6 года 2 месяца назад #

Есть же решение например: f(x)=0.

  2
3 года 9 месяца назад #

Ответ: f(x)=0; f(x)=1; f(x):=x=0, 1 И если x натуральное, 0

P(0;0): f(0)=f(0)2

I) f(0)=0. P(k,0):f(2k)=0, P(0,k):f(3k)=0. P(3,2):f(13)=0, P((1,5):f(13)=f(1)f(5) и P(1,1):f(5)=f(1)2. Значит 0=f(13)=f(1)3,f(1)=0. Далее P(1,3k1):f(6k+1)=0 и P(2k+1,1):f(6k+5)=0. Я показал что для любого x: f(x)=0.

II)f(0)=1. С помощью P(1,5) и P(3,2): f(1)2=f(1)3.

i)f(1)=0. Очевидно что f(3)=f(2)=0. Заметим что f(2k+1)=f(k1)f(1)=0. Так как f(2k)=f(k)f(0)=f(k), f(2lk)=f(k)=0, где l любое натуральное число, и k нечётное( очевидно что в таком виде можно представить любое чётное число). Из этого выходит что для любого натурального x: f(x)=0.

ii)f(1)=1. Заметим что f(3x)=f(2x)=f(x). Тогда f(2k+1)=f(6k+3)=f(3k)f(1)=f(3k)=f(2k)=f(k)=f(2k+3). Из этого выходит что f(2k+1)=f(2k)=f(2k1). Далее легко понять что для любого x: f(x)=1