Областная олимпиада по математике, 2003 год, 11 класс
Найдите все натуральные числа n, при которых уравнение
x3+y3+z3=nx2y2z2
имеет решение в натуральных числах.
посмотреть в олимпиаде
Комментарий/решение:
БОО x≥y≥z. Заметим, что y3+z3 делится на x2 или же 2y3≥y3+z3≥x2.
Тогда 3x3≥x3+y3+z3=nx2y2z2
Значит 3x≥ny2z2 или 18y3≥9x2≥n2y4z4 или 18≥n2yz4≥n2z5
Откуда z=1 и n≤4. Остальная часть задачи это рутина где проверяем варианты для n. Проделав это получим ответ x=y=z=1,n=3
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.