Математикадан облыстық олимпиада, 2002-2003 оқу жылы, 11 сынып

$n$-ның қандай мәндерінде ${{x}^{3}}+{{y}^{3}}+{{z}^{3}}=n{{x}^{2}}{{y}^{2}}{{z}^{2}}$ теңдеуінің натурал шешімдері бар?

Комментарий/решение

БОО $x \geq y \geq z$. Заметим, что $y^3+z^3$ делится на $x^2$ или же $$2y^3 \geq y^3+z^3 \geq x^2.$$

Тогда $$3x^3 \geq x^3+y^3+z^3 = nx^2y^2z^2$$

Значит $3x \geq ny^2z^2$ или $18y^3 \geq 9x^2 \geq n^2y^4z^4$ или $$18 \geq n^2yz^4 \geq n^2 z^5$$

Откуда $z =1$ и $n \leq 4$. Остальная часть задачи это рутина где проверяем варианты для $n$. Проделав это получим ответ $x=y=z =1, n=3$

Ты при переборе забыл вариант: $x=3,y=2,z=1,n=1$