Областная олимпиада по математике, 2003 год, 11 класс
Найдите все натуральные числа $n$, при которых уравнение
$$
x^3 + y^3 + z^3 = nx^2 y^2 z^2
$$
имеет решение в натуральных числах.
посмотреть в олимпиаде
Комментарий/решение:
БОО $x \geq y \geq z$. Заметим, что $y^3+z^3$ делится на $x^2$ или же $$ 2y^3 \geq y^3+z^3 \geq x^2.$$
Тогда $$ 3x^3 \geq x^3+y^3+z^3 = nx^2y^2z^2 $$
Значит $3x \geq ny^2z^2$ или $18y^3 \geq 9x^2 \geq n^2y^4z^4$ или $$18 \geq n^2yz^4 \geq n^2 z^5$$
Откуда $z =1$ и $n \leq 4$. Остальная часть задачи это рутина где проверяем варианты для $n$. Проделав это получим ответ $x=y=z =1, n=3$
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.