Областная олимпиада по математике, 2002 год, 10 класс

Полные решения этих задач опубликованы в книге, доступный для заказа по ссылке

Задача №1. Докажите, что для любых вещественных положительных чисел

$a$ и

$b$ справедливо неравенство

$\sqrt[3]{\frac{a}{b}}+\sqrt[3]{\frac{b}{a}}\le \sqrt[3]{2(a+b)\left( \frac{1}{a}+\frac{1}{b} \right)}.$
комментарий/решение(3)

Задача №2. Найдите все натуральные числа

$a$ ,

$b$ и

$c$ , удовлетворяющие равенству

$a!+2002b! = c!$ .
комментарий/решение(4)

Задача №3. Окружности

$\omega_1$ и

$\omega_2$ касаются друг друга внутренним образом (радиус

$\omega_1$ меньше радиуса

$\omega_2)$ в точке

$A$ . К окружности

$\omega_1$ проведена касательная

$l$ , параллельная прямой, проходящей через центры окружностей.

$l$ касается

$\omega_1$ в точке

$B$ и пересекает окружность

$\omega_2$ в точках

$C$ и

$D$ . Докажите, что

$AB$ является биссектрисой угла

$CAD$ .
комментарий/решение(1)

Задача №4. В трех школах учатся по 200 школьников в каждой. У каждого школьника имеется как минимум один друг в каждой школе (если школьник

$a$ является другом школьника

$b$ , то

$b$ является другом

$a$ ). Известно, что существует множество

$\Sigma$ , состоящее из 300 школьников, такое что для любой школы

$S$ и любых двух школьников

$x$ ,

$y\in \Sigma$ которые не учатся в школе

$S$ , число друзей в школе

$S$ для

$x$ и

$y$ различны. Докажите, что найдутся три ученика, по одному из каждой школы, которые дружат друг с другом.
комментарий/решение

Задача №5. Решите следующую систему уравнений в вещественных положительных числах:

$\left\{ {{\begin{array}{*{20}c} {x_{1} +x_{2} + \dots +x_{n} =9,} \\ {\frac{1}{x_{1} }+\frac{1}{x_{2} }+ \dots +\frac{1}{x_{n} }=1.} \\ \end{array} }} \right.$
комментарий/решение(1)

Задача №6. Найдите все функции

$f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ для которых при любых вещественных

$x$ и

$y$ справедливо равенство

$f(xf(y)+x)=xy+f(x)$ .
комментарий/решение(5)

Задача №7. В треугольнике

$ABC$ длины всех сторон являются целыми числами, а радиус вписанной окружности равен 1. Докажите, что треугольник

$ABC$ является прямоугольным.
комментарий/решение(1)

Задача №8. Дана колода из 52 карт над которыми разрешается проводить следующие операции:
а) менять местами первые две карты;
б) переставлять первую карту на последнее место.
Докажите, что используя эти операции можно расставить карты в произвольном порядке.
комментарий/решение