Processing math: 100%

Областная олимпиада по математике, 2002 год, 10 класс


Найдите все функции f:RR для которых при любых вещественных x и y справедливо равенство f(xf(y)+x)=xy+f(x).
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

  -2
7 года 2 месяца назад #

Ответ:f(x)=x

Решение:R(1;0):f(f(0)+1)=0+f(1) откуда f(0)=0

R(2;0):f(2f(0)+2)=0+f(2) откуда f(2)=2

R(3;0):f(3f(0)+3)=0+f(3) откуда f(3)=3

R(1;2):f(f(2)+1)=2+f(1) откуда f(1)=1

По индукции докажем,что f(x)=x

Шаг 1. f(0)=0;f(1)=1;f(2)=2;f(3)=3

Шаг 2. Пустьf(k)=k

Шаг 3. R(x+1;0):f((x+1)f(0)+x+1)=0+f(x+1),

f(x+1)=x+1 . Это эквивалентно ответу

  3
6 года 2 месяца назад #

Никита, если ты решил функцию в целых числах, это не означает что ты решил функцию в вещественных числах. И не смотря на это, при R(1,0) откуда вышла что f(0)=0.

пред. Правка 2   4
3 года 6 месяца назад #

Ответ:f(x)=x,f(x)=x

Пусть P(x;y) , это f(xf(y)+x)=xy+f(x). ПриP(1;x)

f(f(y)+1)=y+f(1). Так как f(1) константа, тогдп правая часть равенства может принимать любое значение, тогда левая тоже, а это значит что f(x) сюръективна. Пусть a такое что f(a)=0, тогда при P(x;a)

f(x)=ay+f(x), тогда a=0 или f(0)=0. Пусть b такое что f(b)=1. Тогда при P(x;b)

0=xb+f(x), или f(x)=bx. При проверки выясняется что b=1.

пред. Правка 2   3
3 года 6 месяца назад #

Ой, простите, ещё b=1.

пред. Правка 2   3
5 года 9 месяца назад #