Областная олимпиада по математике, 2002 год, 10 класс
Найдите все функции f:R→R для которых при любых вещественных x и y справедливо равенство f(xf(y)+x)=xy+f(x).
посмотреть в олимпиаде
Комментарий/решение:
Ответ:f(x)=x
Решение:R(1;0):f(f(0)+1)=0+f(1) откуда f(0)=0
R(2;0):f(2f(0)+2)=0+f(2) откуда f(2)=2
R(3;0):f(3f(0)+3)=0+f(3) откуда f(3)=3
R(1;2):f(f(2)+1)=2+f(1) откуда f(1)=1
По индукции докажем,что f(x)=x
Шаг 1. f(0)=0;f(1)=1;f(2)=2;f(3)=3
Шаг 2. Пустьf(k)=k
Шаг 3. R(x+1;0):f((x+1)f(0)+x+1)=0+f(x+1),
f(x+1)=x+1 . Это эквивалентно ответу
Ответ:f(x)=x,f(x)=−x
Пусть P(x;y) , это f(xf(y)+x)=xy+f(x). ПриP(1;x)
f(f(y)+1)=y+f(1). Так как f(1) константа, тогдп правая часть равенства может принимать любое значение, тогда левая тоже, а это значит что f(x) сюръективна. Пусть a такое что f(a)=0, тогда при P(x;a)
f(x)=ay+f(x), тогда a=0 или f(0)=0. Пусть b такое что f(b)=−1. Тогда при P(x;b)
0=xb+f(x), или f(x)=−bx. При проверки выясняется что b=1.
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.